Ensemble infini

trois dimensions… », Pascal renforce son argumentation en utilisant un exemple mathématique. Tout d’abords, il nous explique que lorsque l’on nous dit qu’il y a une infinité de nombre, l’homme ne cherche pas à réfuter cet argument car si cela est infini, il semble donc que cela soit impossible à prouver. C’est ce que l’on qualifie d’axiome, autrement dit, un énoncé qui est indémontrable et donc la vérité est connue grâce à une évidence. Cette évidence est alors appelé évidence intellectuelle c'est-à-dire

des proportions infinies. En deuxième temps, nous allons nous pencher sur la place de l'être humain sur Terre par le biais d'un voyage dans l'infiniment petit. Et enfin nous analyserons comment Pascal traduit la disproportion de l’homme. 1. Pascal définit d’abord la place de l'Homme par rapport à l'univers. 1er argument. L'auteur nous montre que l'univers est immense et qu'il a un caractère éternel. Les nombreux adjectifs qualifiant l'univers de « ample », « vaste », « infini », « haute » et

binôme de Newton. Etude de fonction, branches infinies Derniers docs de CPGE ECE 1 C Extrait corrigé EDHEC : intégrales impropres C Extrait concours ESC, intégrales généralisées C Extrait corrigé ESCP : intégrale généralisée C Extrait corrigé EML : intégration C Extrait HEC corrigé, intégrales généralisées C Extrait corrigé CCIP : lois finies, espérance C Problèmes corrigés : lois usuelles, matrice, FPT... C Fiche corrigée : lois usuelles infinies, espérance Lien vers le Doc 736 revisermonconcours

1/ Les ensembles de nombres. En mathématiques nous utilisons différents ensembles de nombres : N : les entiers naturels ou entiers positifs, ex : 6 ; 0 ; 15 Z : les entiers relatifs (positifs et négatifs), ex : 6 ; 0 ; - 4 D : les nombres décimaux, ex : 6 ; - 4 ; 8,666 Q : les rationnels, ex : - 4 ; 8,666 ; 8,666…. ; 4/3 R : les réels (tous les nombres qui existent), ex : 8,666 ; 8,666…. ; 4/3 ; 3/4 ; 7 Il y a deux représentations différentes. Les ensembles : [pic] La droite

: , , , et et , , , et , , . Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Définitions de injection-surjection-bijection On considère une application , où est l’ensemble de départ (ensemble de définition , par . existe (de manière et s’il existe par l’application . Si et l’ensemble d’arrivée de . Ainsi, pour tout est l’image de , on dit que est un antécédent de de l’application) de unique !) et un élément . On dit que tel que

(sur la théorie des nombres). En 1874, il se marie (il aura 6 enfants).   Les premières recherches de Cantor sont consacrées aux séries de Fourier . Afin de résoudre complètement ce difficile problème, il est amené à introduire et à étudier des ensembles dits exceptionnels. Cela le conduit à définir en 1872 très précisément ce qu'est un nombre réel, comme limite d'une suite de nombres rationnels; parallèlement, son ami Dedekind donne la même année une autre définition de la droite des réels, Cantor

des assertions similaires faisant intervenir lim inf an . n→∞ (c) V´rifier que an −→ l ∈ R si et seulement si lim sup an = lim inf an = l. e n→∞ n→∞ n→∞ 2. On consid`re un ensemble E, et (An )n≥1 une suite de sous-ensembles de E. Si A ⊆ E, on e note 1A sa fonction caract´ristique. e (a) Que repr´sentent les ensembles suivants, e Ak , n≥1 k≥n n≥1 k≥n Ak ? Le premier est not´ lim inf n→∞ An , le second lim supn→∞ An . Relier les fonctions e caract´ristiques 1lim inf n→∞ An , 1lim supn→∞

f (−x), soit h(x) = f (x)+f (−x) 2 ; En calculant (2) − (4) on obtient 2g(x) = f (x) − f (−x), soit g(x) = Serge Dumont f (x)−f (−x) 2 Mathématiques 2015-2016 13 / 44 4 – Composition de fonctions 4.0 – Définition 9 Soient X, Y et Z, 3 ensembles quelconques. Soient 2 fonctions f : X → Y et g : Y → Z. On définit la composée de f par g, notée g ◦ f par : Pour tout x dans X, (g ◦ f )(x) = g(f (x)). (On applique f à x, puis g à f (x)). Exemple : f : x → x2 + 1 Df = IR ; g : x → cos(x) Df

vôtre. ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables

RAPPELS SUR LA THEORIE DES ENSEMBLES I- DEFINITION DE L’ENSEMBLE : Un ensemble est constitué d’éléments appelés aussi individus. On désigne un ensemble par une lettre majuscule A, B….. et on désigne un élément par une lettre minuscule a,b … RMQ : l’ensemble peut être fini, ou infini EXEMPLE : l’ensemble des résultats du jet d’un dé bien équilibré : A = { 1,2,3,4,5 ,6} est un ensemble fini. II- TYPES D’ENSEMBLES : 1 – L’ENSEMBLE VIDE : C’est un ensemble qui ne contient aucun élément