Ensemble infini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 B Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 C Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Feuille d’exercices n◦ 4 – Rappels et compléments sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 V Langage de la théorie des ensembles I 35 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 B Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 C Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Feuille d’exercices n◦ 4 – Rappels et compléments sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 V Langage de la théorie des ensembles I 35 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logique et langage des ensembles 2.1 Propositions et op´rateurs logiques e 2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . 2.3 Techniques de d´monstration . . . e 2.3.1 R´currence . . . . . . . . . e 2.3.2 Contrapos´e . . . . . . . . . e 2.3.3 D´monstration par l’absurde e 2.4 Langage des ensembles . . . . . . . 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . 3 Suites r´elles et complexes e 3.1 Limite d’une suite r´elle

Table des matières : 1 .Introduction au problème du voyageur de commerce 1 .1 .Définition du problème  1 .2 .Historique 2 .Modèle mathématique du voyageur de commerce  2 .1 .Définition des ensembles et des indices 2 .2 .Modélisation à l’aide des graphes 2 .2 .1 .Définition d’un cycle 2 .2 .3 .Définition d’un cycle élémentaire 2 .2 .4 .Définition d’un cycle Hamiltonien  2 .3 .Modélisation à l’aide de l’optimisation combinatoire 2 .3 .1 .Définition

Analyse I Maths 104 - Maths 104b Thierry Ramond Math´matiques e Universit´ Paris Sud e e-mail: thierry.ramond@math.u-psud.fr version du 29 aoˆt 2010 u Table des mati`res e 1 Nombres r´els e 1.1 1.2 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R`gles de calcul dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La relation d’ordre . . . . .

d’indiff´rence . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.4 Pr´f´rences rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.1.5 Pr´f´rences et utilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 1.2 Ensembles de choix du consommateur . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ensembles de choix ou ensembles de consommation 1.2.2 Ensemble de budgets . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Maximisation de l’utilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Programme du consommateur . . . . . . . . . . . . 1.3.2 “R´solution

chose mais qui apr`s coup ne pr´sentera pas de difficult´ e e e majeure pour l’´tudiant ayant assimil´ ce cours. De la mˆme fa¸on, nous avons e e e c ´vit´ les discussions autour de l’axiome du choix, nous limitant au niveau de e e la th´orie des ensembles aux op´rations ensemblistes rappel´es dans le premier e e e exercice. Ainsi le th´or`me de Tychonoff est d´montr´ dans le cas m´trisable. e e e e e De mˆme, on ne parle pas du th´or`me de Hahn-Banach qui s’int´gre plus e e e e naturellement dans un

rapports. I-1-1-3-L’analyse. L’Analyse quant à elle, c’est : « l’ensemble des sciences mathématiques qui étudient les relations de dépendance existant entre diverses grandeurs » . On distingue, la théorie générale des fonctions, la théorie des ensembles et le calcul des probabilités. I-1-2-Géométrie : science des figures. Cette science concerne de façon particulière la géométrie, qui étudie les figures que l’on peut tracer dans l’espace. On distingue donc la géométrie analytique, qui applique

importantes et faisons l'état des lieux en terminale scientifique. Dans les années 1970-80, les concepteurs affirme leur volonté d'une construction de type "Bourbakiste" au travers d'une généralisation excessive du vocabulaire de la théorie des ensembles associée à l'abus des structures algébriques. Ce bouleversement, de la maternelle à l'université, conduit à un enseignement des mathématiques trop formel2 pour les lycéens et coupé des utilisateurs des mathématiques. Je n'y reviens pas, le sujet

e e e e e rel`ve du ”hasard”, de l’al´atoire. e e 1.1. Vocabulaire. – On commence par se donner un ensemble Ω appel´ univers ou popue lation. – Les ´l´ments de Ω sont appel´s des r´sultats. ee e e – Un ´v´nement est une partie de Ω. e e – Nous d´signons par ´preuve une exp´rience reproductible r´alis´e dans e e e e e des conditions bien d´finies et dont le r´sultat est un ´l´ment d’un e e ee ensemble bien d´termin´ Ω. e e Exemple 1.1. Epreuve : On lance un d´ ` six faces et on note le num´ro ea e obtenu