Entier algébrique

Académie en ligne ̈ Solution a) Faux. On peut corriger comme ceci : « La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison e. » b) Vrai. On peut aussi définir la fonction f sur » tout entier, la propriété énoncée est encore vraie puisque la fonction exponentielle transforme chaque somme en un produit. c) Faux. Pour tout réel x, e x > 0 donc l’équation e x = 0 n’a pas de solution dans » ; a fortiori, elle n’en n’a pas qui soit strictement

8x 2 A; x a (resp. x a) 8. toute partie A de R non vide, minorée, admet une borne inférieure qu’ note par on inf A = sup( A), où A est l’ ensemble des éléments opposés de A: Dé…nition 1.1.4 Soient a un nombre réel positif, a 2 R+ , et n un entier naturel, n 2 N . Le nombre réel positif b 2 R+ tel que bn = a est appelé racine neme de a: Cet élement est noté p n a, ou a n . 1 Analyse 3 1.2 Valeur absolue d’ réel un x si x 0 : x si x < 0 On appelle valeur absolue de x 2 R le

b. Démontrer que a h(x) dx = A. P. M. E. P. Baccalauréat S E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 5 points Partie A Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a = 1). On pose, pour tout entier naturel n, v n = un − b . 1−a 1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a. 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un ) a pour b limite

les candidats Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'ume . À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l'exercice sont indépendantes. 1.

| Conjonction logique |  est vraie si et seulement si A et Bsont vraies (donc fausse si A ou B ou A et B sont fausses) | , si n est un entier naturel | | | « et » | | | | | Logique, voirConnecteur_logique | | | | ∨ | Disjonction logique |  est vraie quand A ou B (ou les deux) sont vraies et fausse quand les deux sont fausses. | , sin est un entier naturel | | | « ou » | | | | | Logique, voirConnecteur_logique | | | | ¬ | Négation logique |  est vraie quand A est fausse

Contenus Capacités attendues Commentaires Pour exprimer que la suite (u n ) a pour limite + ∞ quand n tend vers + ∞ , on dit que, pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes u n sont supérieurs à 10 p . Pour exprimer que la suite (u n ) a pour limite l quand n tend vers +∞, on dit que, pour tout entier naturel p , on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes un sont à une distance de l inférieure à 10− p . Comme en classe de première, il

cet exercice est ramenée à 0. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O, OI , OJ ) . A, B et C sont les points d'affixes respectives : 1 1 7 + 3i , zB = + i et zC = −1 + 2 2 5 − 2i zA = 3i θ est un nombre réel quelconque. 1. La forme algébrique de zA est : 7 3 P1 − i 5 2 P2   29 29 + i 21 21   1+i P3   P4 10 3   2. La forme exponentielle de zC est : P1 2 iπ 2e 3   P2 −e   i 3 P3 −2 e   − iπ 3 3. L'affixe du point B' image de B par la rotation de centre I et d'angle − P1

probabilité d'obtenir, au cours de ces n tirages, une boule blanche uniquement au dernier tirage. a. Calculer P1, P2, P3. b. Conjecturer Pn. Exercice 3. (5 points) Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de Spécialité. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres a = n3 – n2 – 12n et b = 2n2– 7n – 4. 1. Montrer, après factorisation, que a et b sont divisibles par n – 4. 2. On pose ( = 2n + 1 et β = n + 3. On note d le pgcd de ( et β.

| | | ∧ | Conjonction logique | est vraie si et seulement si A et B sont vraies (donc fausse si A ou B ou A et B sont fausses) | , si n est un entier naturel | | | « et » | | | | | Logique | | | | ∨ | Disjonction logique | est vraie quand A ou B (ou les deux) sont vraies et fausse quand les deux sont fausses. | , si n est un entier naturel | | | « ou » | | | | | Logique | | | | ¬ | Négation logique | est vraie quand A est fausse et fausse quand A est vraie | |

l’enseignement de spécialité On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 = entier naturel n : zn+1 = (1 + i)zn . 3−i et pour tout Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. 1. Calculer u0 . 2. Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison terme 2. 2 et de premier 3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (un ). 5. Étant