Entier algébrique

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

Indication : Réponse : Résoudre voir page 11 voir page 12 voir page 11 voir page 12 Pour réels et un entier naturel non nul, factoriser Exercice 9. 2 Factorisations Identités remarquables. Réponse : voir page 12 pour réel (ou complexe) si si Somme des termes d'une suite géométrique : où sont trois nombres réels ou complexes. pour réels (ou complexes) et un entier naturel non nul : Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus !

Fonction Exponentielle A. Définition et propriétés algébriques On considère l'équation différentielle y' = y avec y(0)=1 et on admet qu'elle a au moins une solution f, c'est à dire qu'il existe au moins une fonction f dérivable sur
, telle que : f ' = f et f (0) = 1. 1- Propriétés préliminaires a) Une fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1 ne s'annule pas. Démonstration Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée

Sommaire……………………………………………………………………………………...1 PARTIE A : COURS ................................................................................................... 3 Chapitre I : Calcul algébrique (rappels) .......................................................................................................... 4 Chapitre II : Entiers : arithmétique ................................................................................................................... 6 Chapitre III : Développements - factorisations

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

cubique à la main Et les nombres négatifs... Extraire une racine carrée avec des soustractions : le gnomon Extraire une racine à la règle et au compas | Extraire une racine carrée à la main : voir dynamiquement Ci-dessous, entrer un nombre entier plus petit que 100 000 000 et valider en cliquant OK. L'algorithme se déroulera petit à petit . Description de l'algorithme Ci-dessous, un exemple extrait d'un manuel de 1910 pour le cours supérieur de certificat d'études - 11

tarif « jeune », d’un billet plein tarif de 72 € ? c) Quel serait le montant plein tarif d’un billet de 96 € payé en tarif « jeune » ? Exercice 3 :(/2,5) Répondre sur sa copie par vrai ou faux a) 0,5 est un nombre rationnel b) Tout nombre entier est un nombre décimal c) est un nombre décimal d) Tout nombre rationnel est un nombre décimal e) ∏ est un nombre rationnel Exercice 4 :(/2,5) QCM : Écrire sur sa copie la bonne réponse (A, B ou C) |

Devoir dans le plan P A Q U Translations et Vecteurs Rotations Polygones Réguliers Devoir Composition Devoir Triangle Rectangle N Devoir O Distance Droites des milieux Droites remarquables dans un triangle Devoir Nombres rationnels Calcul Algébrique E L Equations à une inconnue Inéq et Systèmes de 2 inéquat à une inconnue Nombres Décimaux Relatifs E statistique S Programme de Mathématiques du Premier Cycle – Classe de Quatrième – Année 2006 55 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a. • 6 Propriétés ∀a ∈ R ∀b ∈ R |a| 0 ; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; |ab| = |a| |b| ; |a + b| |a| + |b| ; |a| − |b| |a − b| . Partie entière Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté E(x) ou [x], tel que E(x) x. On l'appelle la partie entière de x. On a donc, par définition : E(x) x < E(x) + 1 . Analyse en 30 fiches 1 Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x < 0 ; par

le calcul de N! % [res]=factr(N) if (N < 0) res='Erreur'; fprintf('Erreur, la valeur de N est négative'); else if N==0 res=1; else if rem(N,fix(N))==0 res=N*factr(N-1); else res='Erreur'; fprintf('Erreur, la valeur de N n''est pas un entier positif'); end end end >> res=factr(5) res = 120 Adolfo Foriero, ing., Ph.D. 8 Fonction itérative MATLAB pour le calcul du factoriel de N function [res]=facti(N) % exemple d'une fonction itérative pour le calcul de N! % [res]=facti(N)