Entier algébrique

(3π/7)) + sin(π + π/7) = sin(2π/7) + sin(3π/7) − sin(π/7). Les trois angles de cette dernière expression sont tous compris dans [0, π/2], donc 0 < sin(π/7) < sin(2π/7) < sin(3π/7). Il en suit que Im(S) > sin(2π/7) > 0. (d) Déterminer l’expression algébrique de S.(on pourra remarquer que S et S¯ sont solutions de l’équation: z 2 + z + 2 = 0). ¯ = z 2 + z + 2, donc S est solution de Solution. D’après la partie (c), (z − S)(z − S) l’équation z 2 + z + 2 = 0. Le discriminant de cette équation est ∆ = 12

pas du tout égale à a + b Les démonstrations de cette partie ne sont pas à apprendre mais à comprendre. 1 © www.automaths.com II Applications a) Simplification d’écritures On préfère écrire une racine sous la forme a b où a et b sont des entiers avec b le plus petit possible : 200 = 100 × 2 = 100 × 2 = 102 × 2 = 10 2 On utilise ici la règle : a2 = a On utilise ici la règle : ab = a b L’intérêt de modifier ainsi l’écriture des racines est, par exemple, de pouvoir simplifier des

rectangle en A b. rectangle en B c. rectangle en C d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte 5. Un argument de correspond à une mesure de l'angle orienté : a. b. c. d. 6. Le module de correspond à : a. b. c. d. 7. L'écriture algébrique de est : a. b. c. d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte. Page 2 sur 11 CONCOURS AVENIR – 8 MAI 2014 8. Le point D appartient au segment : a. [AB] b. [AC] c. [BC] d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte.

A −1 −2 Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. u0 = 2 Soit (un ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : un+1 = f (un ) 1. Pour tout nombre entier naturel n, 2 un β. Démonstration par réccurence : • On a 2 u0 = 2 β • Supposons que, pour un n donné, on ait : 2 un β, alors, la fonction f étant croissante sur [2; β] : 2 • Ainsi, ∀n, n ∈ un un β =⇒ 2 β. 2, 09861228867

x) × exp(x) = 0 la fonction f est donc une fonction constante. De plus, f (0) = exp(a + b) × exp(0) = exp(a + b), et f (b) = exp(a) × exp(b) f étant constante, on a alors : exp(a + b) = exp(a) × exp(b) Théorème 9 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b, et pour tout entier relatif n, on a : exp(a) exp(b) • exp(na) = [exp(a)]n (n ∈ Z) • exp(a − b) = • exp(−b) = • exp a = n 1 exp(b) n exp(a) Démonstration : Immédiate à partir du théorème précédent. Théorème 10 Relation fonctionnelle caractéristique

statistique 4 Simulation et fluctuation d’échantillonnage 7 Calcul et fonctions Nature et écriture des nombres Ordre des nombres. Valeur absolue Fonctions : généralités Étude graphique de fonctions Premières fonctions de référence Fonctions et calcul algébrique Équations et inéquations du premier degré Géométrie Géométrie dans l’espace Configurations du plan Triangles isométriques et triangles semblables Calcul vectoriel Équations de droite et systèmes d’équations linéaires 9 12 15 17 20 22 26 30

plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme ceci: Théorème 1 — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que: xn+ yn= zn,dès que n est un entier strictement supérieur à 2. Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par la mathématicien britannique Andrew Wiles en

gagner les 100 euros de la roue : P(Gain 100 [pic] V ) = [pic] = [pic] Calculer la probabilité de gagner les 20 euros de la roue : P(Gain 20 [pic] V ) = [pic] = [pic] 2) On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est à dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m . a) Les valeurs de la variable aléatoire X sont : – m , 0 , 20 – m et 100 – m b) Loi de probabilité de la variable aléatoire

| | |lnx | | 2) Propriété algébrique fondamentale: a) a est un réel strictement positif fixé. On considère la fonction: g(x) = ln(a.x) Dg = ; g est dérivable sur: et g’(x) = Donc g et ln sont deux

nombres ................................................................................43 A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43 B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45 3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46 4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47 A. Des algorithmes .............................................