Entier algébrique

coordonnées de A, B et C dans le repère (A , B , C). 4. [1 point] Déterminer les coordonnées de A, B et C dans le repère (C , A , B). Exercice 4. Une fonction ... algébrique 4 × 2 + 1 = 9 points On considère la fonction f définie sur R par 1. Déterminer l’image de √ f (x) = −3x2 + 3x + 6 √ 3 par f sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers relatifs. 2. Montrer que pour tout réel x on a f (x) = −3(x − 2)(x + 1) 3. En déduire les coordonnées de A et B, les points d’intersection de Cf , la courbe

Révisions Bac S - Fiche n°1 1.1. Résoudre dans c l'équation 4z² + 3 = 0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

découverte est assez fréquente en mathématique. Qu’on se rappelle les solutions des équations suivantes. • Résolution dans N de l’équation x + 7 = 6. • Résolution dans Z de l’équation 3x = 1. Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alors x = −1 Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on 1 obtient x = . 3 • Résolution dans Q de l’équation x2 = 2. • Résolution dans R de l’équation x2 + 1 = 0. Cette équation n’a pas

40 41 Logique binaire 1re année 118 121 123 126 42 43 44 45 Dénombrement 1re année 131 134 Ensembles 1re année Groupes 1re année Applications 1re année Autres structures algébriques 1re année 138 141 Relations 1re année Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 128 VI Table des matières 46 47 Exponentielle complexe 1re année 144 48 49 Polynômes 1re année 149 153 Fractions rationnelles 1re année Nombres

u0 = −1, u1 = 1 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − un . 2 4 5 points 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel n : 1 v n = un+1 − un . 2 a. Calculer v 0 . b. Exprimer v n+1 en fonction de v n . c. En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison d. Exprimer v n en fonction de n. 3. On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : wn = a. Calculer w

exp(x) = 0 la fonction f est donc une fonction constante. De plus, f (0) = exp(a + b) × exp(0) = exp(a + b), et f (b) = exp(a) × exp(b) f étant constante, on a alors : exp(a + b) = exp(a) × exp(b) Théorème 9 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b, et pour tout entier relatif n, on a : • exp(a − b) = exp(a) exp(b) • exp(na) = [exp(a)]n (n 2 Z) • exp(−b) = 1 exp(b) • exp a n  = n p exp(a) Démonstration : Immédiate à partir du théorème précédent. Théorème 10 Relation fonctionnelle

unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f(0)= 1. Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp On a donc : exp’ = exp et exp(0) = 1 Remarques : • La fonction exp est une fonction non algébrique comme sin et cos. • exp(0)= 1 donc exp’(0) = 1. La tangente à (Cf) au point (0 ; 1) a pour équation réduite : y = x + 1 2° Propriétés 1 Pour tout réel x et y : exp(x + y) = [pic] (1) exp (-x) = [pic] (2) exp (x - y) = [pic]

est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité, soit ”vrai“ soit ”faux“. Exemple 1.1.1. « 2 < 3 », « l’ensemble {3, a, 53} possède 7 éléments », « 49 est un nombre premier », « cos2 (1) + sin2 (1) = 1 », « π est un nombre entier » sont des propositions logiques. 1.1.1 Connecteurs logiques Les connecteurs logiques sont des opérations permettant de créer de nouvelles propositions à partir de propositions existantes. La négation Soit P une proposition. La négation de

invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent certainement des fautes de frappe et des erreurs. Toute correction apportée à ce texte sera la bienvenue. ii iii Notations et identités remarquables N = ensemble des entiers naturels Z = ensemble des entiers relatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels C = ensemble des nombres complexes ∃ ∀ ∈ ≤ ≥ “ il existe ” “ pour tout ” “ appartient ” “ plus petit ou égal ” “ plus grand ou égal ” (a + b)2 = a2 + 2ab

complexe z, défini par : P (z) = z 3 + (14 − i 2)z 2 + 74 − 14i 2 z − 74i 2. a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P (z) = 0. Prendre y = 2. Vérifier que P (i 2) = 0. On peut par exemple mettre P (i y) sous forme algébrique et choisir y pour que les parties réelle et imaginaire s’annulent. b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait P (z) = (z − i 2)(z 2 + az + b) (z − i 2)(z 2 + az + b) = z 3 + (14 − i 2)z 2 + (74 − 14i 2)z −