Entier algébrique

TS1 2010/2011 CORRECTION du DM n°1 à rendre le lundi 13/09/2010 EXERCICE 1 : Les énigmes du jour (à compléter dans ce tableau) 1. Je suis une fonction qui ne daigne s’appliquer qu’aux entiers SUITE naturels : je ne calcule que leurs images. Je suis une 2. Un entier naturel est l’un ou l’autre ; une fonction peut être I MPAIR (E) ni l’un ni l’autre ou PAIR(E) 3. Pour ma fonction, je fais mon ......................pour être la plus MAXIMUM grande de toutes les images autour de moi : je suis un L OCAL

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)

rayon 2 ont leur image M’ sur un cercle que l’on déterminera. c. Soit E le point d’affixe [pic]. Donner la forme trigonométrique de [pic] et démontrer à l’aide du 3. a. qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique les affixes de ces deux points. 2 Exercice 2 (5 points) Cet exercice est un Q.C.M. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux) dans la case correspondante. Aucune

racine carree I. Racine carrée d'un nombre positif : Définition : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif noté dont le carré est a.. C'est-à-dire : Définition : On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier. II. Règles de calculs sur les radicaux : 1. Produit de racines : Propriété 1: Pour tous nombres a et b positifs, on a : |[pic] | Propriété 2 : Pour tout nombre positif a, on a |[pic]

DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit De manière plus mathématique : que la suite ( u n ) a pour limite + ∞ . Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n = + ∞ Ex : lim n ² = + ∞ n → +∞ n → +∞ cas 2 Ex : Si les termes u n finissent par être négatifs et « si un est aussi grand que l’on lim ( – n ² ) = – ∞ veut en valeur absolue dès que

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes : a) F(0)=ln2 ? b) F′(x)= 1 ? 2+x c) F est croissante sur [0;+õ[ ? ORAL 3 (SANS CALCULATRICE) Exercice 1 – Résoudre l’inéquation : e 2x −e x −2>0. Exercice 2 – On définit la suite ( un ) pour tout entier naturel n par : un = ⌠ x 2 e -x dx . ⌡ 0 Montrer que la suite ( un ) est croissante. ORAL 4 (SANS CALCULATRICE) Exercice 1 − On pose : I= ⌠ xe -x dx . ⌡ 0 En utilisant une intégration par parties, calculer I. Exercice 2 – a) Résoudre dans C l’équation

! 2. Propriétés algébriques : Pour tous nombres réels x et y strictement positifs : a) ln ( x y ) = ln x + ln y ; b) ln (x × x) = ln x + ln x , soit ln ( x 2) = 2 ln x ; c) Pour tout entier naturel n, ln (x n ) = ln ( x n–1) + ln (x) = ln (x n–2) + ln (x ) + ln x = …. = n ln (x) ; 1 1 1 1 ) = ln 1, donc ln ( x × ) = 0, d'où ln x + ln ( ) =0, soit ln ( ) = – ln x ; d) ln ( x × x x x x x 1 1 e) ln ( ) = ln (x × ) = ln (x) + ln ( ) = ln x – ln y ; y y y 1 f) Pour tout entier naturel n, ln ( n )

qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Exprimer l'espérance mathématique de X en fonction de m. c)On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle. Déterminer m pour que le jeu soit équitable. 3- Soit n un entier naturel non nul. On joue n fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le

sachant qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer P V (R) puis P (R∩V). c. Calculer P (R). d. Calculer la probabilité de gagner les 100 e, puis la probabilité de gagner les 20 e de la roue. 2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m. a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X . b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que P (X