Entier algébrique

suppose connus les résultats suivants: • • J:(f(t)+g(t))dt= J:f(t)dt+ J:g(t)dt. Si pour tout tE[a,b), f(t) ?: O alors J:f(t)dt ?: O. alors Montrerque:sipourtout tE[a,b], f(t) ~ g(t) J:f(t)dt ~ J:g(t)dt. Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle /" la fonction définie sur [0, + oo[ par /" (x) == ln (1 + x") et on pose In On note = J~1n(l+xn)dx. en la courbe représentative de J" dans un repère orthonormal (0; i,]) 1. Q. Déterminer la

XVIIIe siècle av. J.-C. montre que les Babyloniens connaissaient la racine carrée de deux et un algorithme de calcul. Tout nombre réel x positif possède une racine carrée qui est elle-même un nombre réel. La racine carrée d'un nombre entier n est soit un entier, soit un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'elle ne peut être exprimée par une fraction. La racine carrée est à l'origine de la découverte de l’irrationalité, mais contrairement à une idée répandue, rien n'assure que celle de 2 fut le premier

numérique est une fonction u définie de ℕ dans ℝ , qui à tout nombre entier n, fait correspondre son image u(n) qu'on note aussi un , n≥0 ou n≥1 ... La suite se note (u n )n . Le nombre un s'appelle le terme de rang n ou encore le terme général de la suite. Le nombre u0 s'appelle le premier terme ou terme initial de la suite . Autrement dit : Une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » par les nombres entiers naturels en commençant à partir de 0 ; ou à partir de 1, ou de 2, .

de f en + et - . b) Montrer que la droite D d’équation y= est asymptote à C. c) Calculer la dérivée de f . 2.  (candidat de spécialité svt ou physique) Soit u la suite définie par )) pour tout entier naturel n. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2 ≤ un ≤4. (on pourra utiliser la fonction f définie par f(x) = 4 – ) b) Démontrer par récurrence que u est croissante. c) En déduire que u est convergente et déterminer sa limite. Ex 2 : (candidat

veut dès que n est assez grand » , alors on dit que | | |la suite ( u n ) a pour limite + . |Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si | | |n p , alors u n > M | |On note +)) u n = +

LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN I.  II.  DEFINITION. ....................................................................................................................... 2  PROPRIETES ALGEBRIQUES. ......................................................................................... 2  A.  DEMONSTRATIONS. ............................................................................................................... 2  B.  PROPRIETES FONDAMENTALES DU LOGARITHME NEPERIEN. .............

réponse fausse, donner un contre exemple. L’opposé d’un entier naturel est un entier naturel V F L’inverse d’un entier naturel non nul est un décimal V F Tout nombre décimal est un nombre rationnel V F Tout nombre rationnel est un nombre décimal V F Tout produit de deux irrationnels est un irrationnel V F 1 Exercice 4 (2 points) Associer à chaque algorithme de calcul son expression algébrique. A B C Choisir un nombre x. Choisir un nombre x. Choisir

0 2 f (x) dx = e−x dx 1 0   pour tout entier naturel n non nul, u =  n x n f (x) dx = 1 0 x n e−x dx 1 e f (x) 1. 2 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], b. En déduire que 1 e u0 1. un . 2. Calculer u 1 . 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 b. Étudier les variations de la suite (u n ). c. En déduire que la suite (u n ) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n b. En déduire la limite de la suite

alors Fonctions exponentielles * Il existe une unique fonction non nulle, dérivable sur ℝ telle que et solution de l'équation différentielle . C'est la fonction exponentielle. , qui soit Complexes Equations différentielles Ecriture algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle Intégration * Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle . On considère le domaine délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites d'équations L'aire de ce domaine

(formule du binôme) 1. Cours sur les fonctions, en particulier sur les fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, fonctions exponentielles de base a, fonctions puissances) : pour ces fonctions, bien connaître la dénition, les propriétés algébriques, la courbe et les limites usuelles associées. 2. Règles de calculs sur les limites : savoir donner rapidement une limite quand il n'y a pas d'indétermination, et connaître les techniques pour lever une indétermination. 3. Formules de dérivation