Entier algébrique

Durée : 4 heures Coefficient : 4 E XERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). 2π Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn = ei 3 · in où i désigne le π nombre complexe de module 1 et d’argument . (Par convention, pour n = 0, i0 = 2 1.) 1. Déterrniner la forme algébrique ainsi que le module et un argument de chacun des nombres complexes z0 , z1 , z2 et z3 . Placer dans le plan les points M0 , M1 , M2 et M3 . 2. Exprimer

et f(0) = 1. C’est la fonction exponentielle, notée exp. II . Propriétés algébriques : Théorème : Relation fonctionnelle caractéristique : La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions : • Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b) • f’(0) = 1 Propriétés : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 1/3 Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif : • • • Remarque : Pour tout réel a : Donc pour tout réel a,

le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 (3 points) Commun à tous les candidats On considère la suite (un) définie par : [pic] 1. Étudier la monotonie de la suite (un). 2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2. b) Quelle est la limite de la suite (un) ? Conjecturer une expression de un, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée. EXERCICE 2 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

99 si f(x2) – f(x1) > 0 alors f est croissante . 19,99 – 11,56 = 8,43 Donc f est croissante donc la suite Un est croissante 4 Montrer que cette suite est majorée : On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, Un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. Sur le graphique on devine que Un est majoré sur 20. On étudie le signe de Un – 20 = 20-20x0,75^n-20 = -20x0,75^n < 0 ( sachant que n est compris entre 1 et + l'infini

BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x) IIEtude du logarithme népérien ALes limites Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont : limx→0ln(x)=−∞ limx→+∞ln(x)=+∞ D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non nul n : limx→+∞ln(x)xn=0 limx→0+xnln(x)=0

par une rotation R que l’on caractérisera. ( ∧ ) π 2) Soient C un point d’affixe zC = 1 − i et D un point d’affixe z D tel que R (C ) = D a – Déterminer le module et un argument de z D . zD 1 + i 3 = 2 zC c – En déduire le forme algébrique de z D . b – Montrer que d – Donner alors les valeurs exactes de Cos π 12 et Sin π 12 . Exercice N° 4: 6 points  a × b = 12600 I – Résoudre dans ℕ² , le système S :   a ∨ b = 1260 II – Soit n ∈ ℕ . 1) Pour : 1 ≤ n ≤

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)

ne connait pas encore entièrement. En effet, de nombreuses recherches sont encore effectués actuellement sur ces nombres. Introduction Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de un est dit composé. Par exemple, 8=2x4 est composé alors que 11=1x11 est premier. 1 n'est pas premier par convention. La reconnaissance des nombres premiers et

C l'équation (2) : I . z 1 On donnera la solution sous forme algébrique. 3. Soit M, A et B les points d'affixes respectives z , 1 et 2. On suppose que M est distinct des points A et B. a. Interpréter géométriquement le module et un argument de b. Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2). 4. a. Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution dans C de l'équation I n 3 z 2 , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle . 2 z 1 2 z 2

[pic] et on définit la suite (un) par : u0 =[pic]= [pic] pour tout entier naturel n non nul, un =[pic] = [pic] 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], [pic] ( f(x) ( 1. b. En déduire que [pic] ( u0 ( 1 2. Calculer u1. 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ( un. b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un ( [pic]. b. En déduire la limite de la suite (un)