Entier algébrique

voisinage de a. 2ème Cas : Un nombre fini de dn n’est pas nul. Soit alors m le plus grand entier positif tel que dm 0. Alors (z−a)m f (z) est analytique au point a. On dira alors que a est une singularité d’ordre m, ou pôle d’ordre m ; (pôle simple, double, triple, . . . pour m = 1, 2, 3, . . . ). 3ème Cas : Un nombre infini de termes dn n’est pas nul. a est appelé singularité essentielle de f . Pour tout entier positif m ; (z − a)m f (z) n’est pas borné au voisinage de a. M r A  N -E 

La division décimale de deux entiers au CM1 Introduction : On parle de division décimale quand au moins un des quatre nombre de la division (a, b, q ou r) est décimal. La division peut alors être exacte ou approchée. L’introduction en CM1 de la division décimale de deux entiers est une nouveauté des programmes de 2008. Certains manuels ne sont, en conséquence, pas encore à jour. En outre, cette séquence est prévue comme une initiation, puisque ce point sera revu en 6e. Il ne s’agit donc

On considère la suite de nombres complexes (Z n ) définie pour tout entier naturel n par Z 0 = 1 + i et Z n+1 = 1+i Z n . On note Mn le point du plan d’affixe 2 Zn . a. Pour tout entier naturel n, le point Mn appartient au cercle de centre O et de rayon 2. b. Pour tout entier naturel n, le triangle OMn Mn+1 est équilatéral. c. La suite (U n ) définie par U n = |Z n | est convergente. Z n+1 − Z n est π . d. Pour tout entier naturel n, un argument de 2 Zn 4. Soit A, B, C trois points du plan

certain entier naturel ) qui à tout entier naturel (respectivement tout entier naturel n n associe un réel u(n), noté . L'image d'un entier naturel par la suite u est appelé un terme de la suite u. Le réel u est le terme d'indice (ou de rang) n de la suite u. On dit que u est le terme général de la suite u. Notations - L'image u(n) d'un entier naturel n par une suite u est noté u . - Une suite u dénie sur N est notée (u ) ou plus simplement (u ). - Une suite u dénie pour tout entier naturel

ENSEMBLE DE NOMBRES Définition et notation : 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ . 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ . 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est

l’élève, et ses activités, la démarche de conception d’un environnement numérique d’apprentissage. Nous présentons dans cet article un dispositif expérimental d’un environnement numérique d’apprentissage du traitement arithmétique simple des nombres entiers relatifs pour des élèves de cinquième de collège (Hérold, 2007), s’appuyant sur trois types de profils d’apprenants déterminés à partir de l’analyse de l’activité d’élèves sur un dispositif de type papier-crayon. Les principaux éléments de conception

3 puissance 2 », on écrit 32 : « on multiplie deux fois le nombre trois par luimême » : • – 42=– 4×– 4 =16 • – 43 =– 4×– 4× – 4= – 64 • 0,12 =0,1×0,1=0,01 2/ À retenir Définition a représente un nombre relatif et n un nombre entier. « a puissance n » s'écrit a n et signifie que l'on va multiplier le nombre a , n fois par luimême. a n=a×a ××a  n fois le facteur a Savoir s'exprimer a n se dit « a puissance n » ou « a exposant n ». 3 a 2 se dit « a au carré » et a

PARTIE 1 Exercice 1.1 Quelles seront les valeurs des variables A et B après exécution des instructions suivantes ? Variables A, B en Entier Début A ← 1 B ← A + 3 A ← 3 Fin Exercice 1.2 Quelles seront les valeurs des variables A, B et C après exécution des instructions suivantes ? Variables A, B, C en Entier Début A ← 5 B ← 3 C ← A + B A ← 2 C ← B – A Fin inverse les deux dernières instructions, cela change-til quelque chose ? Exercice 1.6 Plus difficile, mais c’est un classique

L ES SUITES I Rappels 1 Vocabulaire Définition 1 1. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 > u n . 2. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 < u n . 3. Une suite (u n ) est stationnaire à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 = u n . 4. Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite

Chapitre 1 Les nombres r´ eels et complexes 1.1 Nombres rationnels On d´esigne par N l’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est un ensemble infini. On note N∗ l’ensemble N \ {0}, c’est-`a-dire l’ensemble des entiers naturels non nuls. ´ Etant donn´e deux entiers naturels x et y on sait d´efinir les nombres x + y, x − y, x · y x , si y = 0. y et On remarque que