Entier algébrique

Chapitre 8 Produits laitiers pasteurisés Les produits laitiers pasteurisés sont des produits liquides fabriqués à partir de lait et de crème, destinés à être directement utilisés par les consommateurs. Ce groupe de produits comprend le lait entier, le lait écrémé, le lait standardisé et différents types de crème. Cette catégorie comprend également les produits fermentés mais, ces derniers étant fabriqués à partir de cultures bactériennes spéciales, ils sont traités séparément au chapitre 11 “Produits

concentré non sucré est utilisé comme substitut du lait maternel; dans ce cas, on y ajoute de la vitamine D. Enfin, il est utilisé en cuisine, pour Manuel de transformation du lait/Chapitre 16 353 le café, etc. Ce produit est fabriqué avec du lait entier ou du lait écrémé, ou avec du lait reconstitué à partir de poudre de lait écrémé, de matière grasse de lait anhydre et d’eau (voir chapitre 18 - Produits à base de lait reconstitué). Qu’est-ce que le lait concentré ? Le produit obtenu par évaporation

trace de recherche même non aboutie sera prise en compte. Exercice 7 (Bonus +2) 2 2 2 En vous aidant de l'expression la somme des carrés fait 4 802. ( x−1) + x +( x+1) , déterminer trois entiers naturels consécutifs dont En vous aidant de l'expression 100. 4 x −100 , déterminer un entier naturel dont le carré du double est égal à 2 Exercice 8 (Bonus +1) Calculer le nombre de possibilités pour un mot de passe de 4 caractères où les caractères peuvent être soit une lettre de l'alphabet

de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules ℤ= Entiers relatifs = Nombres négatifs ℕ= Entiers naturels = Nombres positifs Opérations et tableau des signes a+b = b+a Additions et multiplications sont commutables a∙b = b∙a a − b =/ b − a Soustractions et divisions ne sont pas commutables a ÷ b =/ b ÷ a a(b + c) = a ∙

la population de la ville était de 15 000 habitants. Partie A - Étude de deux modèles d’évolution 1. Hypothèse 1 En analysant l’évolution récente, on fait d’abord l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 1 000 habitants par an. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’habitants pour l’année (2013 + n). On a ainsi u0 = 15000. a. u1 représente le nombre d’habitants pour l’année 2014. u1 = 15000 + 1000 = 16000 et u2 = 16000 + 1000 = 17000. b. La suite (un ) est une suite arithmétique

logarithmique. Chapitre 2 : Les suites. Définition d’une suite de nombre réel : Une suite de nombres réels (un)n∊N, parfois noté (un)n ou (un) est définie par la donnée pour tout entier naturel n d’un nombre réel un. Suite par récurrence : Soit un on se donne alors : - le premier terme u0 ; - et, pour tout entier naturel n une expression de un+1 en fonction du terme précédent un. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Suite arithmétique : un+1 = un + r  un = u0 + nr Les suites

Si beaucoup (despoids,des de grandeurs s'ajoutent chiffres d'affaires, elc.),d'autres typesde données, tels lesindices deprixsurdespériodes successives, secomposent nonparaddition maisparmultiplication. Cesopérations lontnaturellement apparaître lesfonctionsexponentielles, tandisquelestonctions logarithmes permettent de revenir à desmodèles additifs. Nousrappellerons simplement ici lespropriétés et I'usage de ces fonctions. Figure1 1.Lesfonctions exponentielles 0 1 x a) Exemple introductif Lesdeuxfonctions

Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1 » x (n entier naturel non nul) Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel. Somme (u + v )' = u '+ v ' Produit d’une fonction par un réel (ku )' = k u ' Produit (uv )' = u 'v + uv ' Carré (u 2 ) = 2uu ' ' Séquence

Placer le point image du réel 0. Placer le point image du réel 4 . Placer le point image du réel − 3 . Propriété : Comme le cercle trigonométrique a un périmètre de 2 π , si x et x' sont deux réels tels que la différence entre x et x' soit un nombre entier de fois 2π, alors x et x' viennent s'appliquer sur le même point du cercle trigonométrique C. Exemple : Les réels π 5π et − 3 ont la même image sur le cercle trigonométrique. 3 ̂ vaut x radian. Remarque : La mesure de l'arc de cercle correspond

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction