Entier naturel

suite est présente très tôt dans l’histoire des mathématiques, dès l’Antiquité. Mais il faut attendre la fin du xixe siècle pour voir émerger la définition actuelle, proposée par G. Peano, d’une suite comme fonction définie sur l’ensemble N des entiers naturels. La notion de suite ne peut être dissociée de celles de mouvement, de quantité en devenir, de dynamique, d’objet concret évoluant vers quelque objet idéal. On ne peut pas vraiment faire un historique de l’idée en tant que telle, car il n’y a

ACTIVITÉS (page 436) de F peut être approchée par la loi de Y, c’est-à-dire la loi 3   normale   0, 25 ; .  1 600  Activité 1 1 a) Ensemble des valeurs prises par F : F (Ω) = { } k , k entier entre 0 et 100 . 100 1 Étant donné que la probabilité d’apparition du 1 est , on 4 25 est la valeur de F la plus probable. peut conjecturer que 100 b) X indique le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre 100 et de paramètre 0,25 ; donc, la loi de X est

1/ (n+1)² Or un carré est toujours positif donc (Vn+1)-(Vn)>0 donc la suite (Vn) est croissante. Montrons que (Xn) est décroissante : (Xn+1)-(Xn) = 1/ (+1) + 1/ (n+1)²-1/n = ((n+2)/ (n+1)²)-(1/n) = -1/ ((n²+2n+1)*n) Or vu que n est un entier naturel non nul le dénominateur est positif donc (Xn+1)-(Xn) est négatif. Donc la suite (Xn) est décroissante. Montrons que limite (Xn-Vn) quand n tend vers + l’infini est égale à 0 On à (Xn) = (Vn) + 1/n d’où (Xn)-(Vn) = 1/n Donc lim (Xn- Vn)

entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s’élève à 49 800 personnes. On admet de plus que le taux d’évolution de −0, 22 % ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011. 1) D’après l’énoncé,pour tout entier naturel n, v n+1 = 0,997 8 × v n + 49 800 . Premier terme : v 0 = u 0 + 49 800 = 81 751 602 + 49 800 = 81 801 402 . 2) v 1 = 0,997 8 × v 0 + 49 800 = 0,997 8 × 81 801 402 + 49 800 ≈ 81 671 239 . v 2 = 0,997 8 × v 1 + 49 800 = 0,997 8 × 81 671 239 + 49

les réels g (3) et g 2 3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que g (x) = 1 − b. Déterminer la limite de g en +∞. ln x + 1 . x E XERCICE 3 Commun à tous les candidats On considère la suite (un )n∈N définie par : u0 = 5 et, pour tout entier n 1. a. Calculer u1 . 1, un = 1 + 2 6 un−1 + . n n 5 points b. Les valeurs de u2 , u3 , u4 , u5 ,u6 ,u7 ,u8 ,u9 ,u10 ,u11 sont respectivement égales à: 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces données conjecturer la nature

ou domaine particulier, suffisamment structuré, par des relations et opérations. On le dit expérimentable quand on peux anticiper de manière presque automatique des résultats des relations ou des opérations Par exemple l’ensemble des nombres entiers naturels inférieurs à 100, avec ces relations d’ordre et ses opérations est un univers directement expérimentable pour les élèves de la fin du CM2 ou le début du collège. En effet pour savoir si 12+18 est plus petit que 62+18 l’élève du CM2 ,peut anticiper

cos(5a) cos(6a)  Correction [005603] Exercice 7 *** Soit A = (ai, j )1 i, j A−1 . Correction n définie par ai, j = 1 si i = j, j si i = j − 1 et 0 sinon. Montrer que A est inversible et calculer [005604] Exercice 8 *** Soient n un entier naturel non nul puis A ∈ Mn (K). Soit f l’endomorphisme de Mn (K) qui à une matrice X associe AX + XA. Calculer Tr( f ). Correction [005605] Exercice 9 ** Soient a un réel non nul et A et B deux éléments de Mn (R). Résoudre dans Mn (R) l’équation

b) 2ème cas : les fractions n’ont pas le même dénominateur - on réduit les deux fractions au même dénominateur ; - on additionne ou on retranche les nouvelles fractions. Exemple : 3 5 2 7 4) Multiplication d’une fraction par un nombre entier a c b On a : Exemple : 5 a c b 2 7 5) Multiplication de fractions On a : a b Exemple : c d a c b d 3 2 5 7 6) Division de fractions c d a c a d par la fraction c’est aussi multiplier la fraction

2 ` ALGEBRE Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres

réduire la production de déchets municipaux de 7% par habitant et par an pour atteindre moins de 390 kg de déchets par habitant et par an. On admet que la production de déchets municipaux en kg par habitant et par an est modélisée où n désigne un entier naturel et par une suite géométrique de terme général = 576. représente la production de l’année (2011 + n). On a alors 1. a) Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,93. b) Calculer la production de déchets municipaux en kg par habitant en