Entier naturel

c’est voir dans le passé » s’explique car la vitesse de la lumière est une vitesse limite car c’st la plus grande vitesse connu a ce jour. Mathématiques : contrôles nr°1 [pic] = nombres entiers positifs ou nuls (ex : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 123…) [pic] = nombres entiers naturels et de leurs opposés (ex : 1 ; 2 ; 3 ; -1 ; -2 ; -3 …) [pic] = nombres positifs ou négatifs pouvant s’écrie avec une virgule et un nombre fini de chiffre après la virgule (ex : 1,43 ; 66,2 ; 7…) [pic]

TS1 2010/2011 CORRECTION du DM n°1 à rendre le lundi 13/09/2010 EXERCICE 1 : Les énigmes du jour (à compléter dans ce tableau) 1. Je suis une fonction qui ne daigne s’appliquer qu’aux entiers SUITE naturels : je ne calcule que leurs images. Je suis une 2. Un entier naturel est l’un ou l’autre ; une fonction peut être I MPAIR (E) ni l’un ni l’autre ou PAIR(E) 3. Pour ma fonction, je fais mon ......................pour être la plus MAXIMUM grande de toutes les images autour de moi : je suis un L OCAL

2 succès parmi 3 épreuves et on note : . Définition : On réalise une expérience suivant un schéma de Bernoulli de paramètre n et p. Soit un entier naturel k tel que On appelle coefficient binomiale, le nombre de chemins conduisant à k succès parmi n épreuves sur l'arbre représentant l'expérience. Ce nombre se note : . Propriétés : Pour tout entier naturel n : Démonstrations : - Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à 0 succès parmi n épreuves : (Echec, Echec, … , Echec) - Il n'y a qu'un

2 Soit  un r´eel strictement positif et X une variable al´eatoire. On dit que la variable al´eatoire X suit la loi de Poisson de param`etre , et on note X P(), lorsque : – L’ensemble des valeurs prises par X est l’ensemble de tous les entiers naturels : X( ) = N. – Pour tout k 2 N, P(X = k) = e−k k! . Th´eor`eme 2 (admis) Soit  2 R + et X une variable al´eatoire. Si X suit une loi de Poisson de param`etre , alors : E(X) =  V (X) =  X = p Remarque : On peut utiliser une table

uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément de I, * E un espace vectoriel normé, * f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel). Alors, pour tout x dans I, l’expression ou son équivalent définit un reste Rn(x) dont le comportement s’apparente au monôme (x – a)n + 1. En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série2, mais il se préoccupe

candidats peuvent admettre les r´esultats d’une question, `a condition de l’indiquer clairement sur la copie. Exercice 1 Si n est un entier naturel strictement positif, on note ai ai−1 . . . a1 a0 son ´ecriture d´ecimale. On a donc n = 10i ai + 10i−1 ai−1 + · · · + 10a1 + a0 , les entiers aj , 0 j i, sont compris entre 0 et 9, et ai = 0. On d´esigne par q un entier compris, au sens large, entre 1 et 9, on pose p = 10q −1 et l’on consid`ere la fonction fq qui `a l’entier n = ai ai−1 . . . a1 a0

2003, Juin, Nouvelle Calédonie Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services. On note, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In) la probabilité de l’évènement In. Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée : • p(I1) = p1 = 0,75. • Sachant

u(0) = 0 donne k + 1 = 0 donc k = −1. Par conséquent : u(x) = −e−2x + 1 = 1 − e−2x . 1 1 1 ln 2 = 1 − e− ln 2 = 1 − eln 2 = 1 − = donc la proposition 2 est vraie. Alors : u 2 2 2 3. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = Effectuons une démonstration par récurrence. Soit Pn la proposition : « 0 u n 7 » • (initialisation) u 0 = 2 donc 0 u0 7. P0 est vraie. 7u n . On a montré que la par récurrence que la proposition est vraie pour tout n, donc la proposition

d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Le th´eor`eme d’Euler et le petit th´eor`eme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 33 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’anneau Z/nZ 2.1 Entiers modulo n . . . . . . . . . . . . 2.2 Addition et multiplication dans Z/nZ 2.3 Inversibles de Z/nZ . . . . . . . . . . 2.4 Application : r´esoudre une ´equation du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chiffrements anciens 3.1 Les

I. Polynômes Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est