Entier naturel

gagn´ contre tous les joueurs de U et contre B, donc contre un e joueur de plus que B. A, B, C satisfont les conditions de l’exercice. 4. Soient a, b, c des nombres naturels tels que a divise b2 , b divise c2 et c divise a2 . Montrer que abc divise a7 + b 7 + c 7 . Exemple de solution. Clairement a est un diviseur de a, car tout nombre naturel se divise lui-mˆme. D’un e 2 autre cˆt´, par hypoth`se, c est un diviseur de a . Nous allons maintenant montrer oe e que b est un diviseur de a4 . Puisque c divise

le corollaire du théorème des valeurs x!+• 1 + e 2⇥0 2 intermédiaires il existe une unique solution a de l’équation f (x) = 2, 999 sur [0; +•[. De plus f (x) < 1, 5 sur ] •; 0[ donc l’équation f (x) = 2, 999 admet une unique solution a sur R tout entier. De plus, on trouve par dichotomie que : 4, 00  a  4, 01 On a que f (0) = Partie B : 1. f est strictement croissante et lim f (x) = 3, donc pour tout x 2 R , f (x)  3. Donc, soit x 2 R : x!+• h(x) = 3 3 f (x) 3 0 Donc h est positive sur R

: Si a = (a0, a1, a2,......., ap,........) et b = (b0, b1, b2,......., bp,........) , alors a × b = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b0,......., cp,........) F. Wlazinski où cp = ¨ a k b n−k = k=0 p i+j=n ¨ ab i j pour tout entier p. 1 Exemple Si a = (2, 1, 0, 0, 0, ......., 0,........) et b = (0, 1, 3, 0, 0, ......., 0,........) alors a × b = (0, 2, 7, 3, 0, ......., 0,........) Ce résultat correspond à une vision théorique de (2 + X) (X + 3X 2) = 2X + 7X 2 + 3X 3.

Soient n un entier naturel non nul et a0,a1,...,an des réels (an≠0). Une fonction polynôme (ou un polynôme) est une fonction P définie sur R qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme unique : P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 L'entier n est le degré de P. Les réels a0,a1,...,an sont les coefficients de P. Le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls) n'a pas de degré. La fonction P définie pour tout réel x par P(x)=3x4−x2+10x−5 est un polynôme de degré 4. Deux polynômes

autorisés : (d)éplacement, (j)eton, (p)rison. -le mode est complété par un entier positif ou négatif. Il est donc nécessaire de connaître le signe et la valeur de cet entier. -chaque règles se termine par le caractère « . ». On s’attend donc à avoir la syntaxique suivante et les résultats correspondants : &gt;auberge p-3. Résultat : Vous devez passer 3 tours. NB : on remarque que p est toujours suivi d’un entier négatif. &gt;bourse j+10. Résultat : Vous gagnez 10 jetons. &gt;casino

: x  x g  x  . 2  2, 2  4/ Soit l’intégrale I   f  x  dx 1 0 a) Montrer que I   2 2 x g  x  dx , en déduire que I  2   g  x  dx 2 2 b) Calculer la valeur de I. EXERCICE 3 (7 points ) n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 cos n x Soit f n la fonction définie sur 0,   par : f n  x   n  2 cos x  sin n x  On désigne par  C n  la courbe représentative de f n dans un repère orthonormé  O, i, j  . 1/ a) Etudier les variation de f

«dégâts considérables» . 2. Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison q. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous. Variables n : un nombre entier naturel v : un nombre réel q : un nombre réel Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à v la valeur 420 Affecter à q la valeur 0,9 Traitement Tant que ....................................................

[pic] [pic] sur [pic]. Etude du comportement de f en -1. En -1 : [pic] et [pic] donc [pic] III Etude de fonctions faisant intervenir l’exponentielle 1° Autres limites faisant intervenir l’exponentielle Théorème 2 Pour tout entier naturel n : [pic] +[pic] (5) [pic]0 (6) [pic]1 (7) On dit pour (5) et (6) que "A l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x." En particulier : [pic] +[pic]et [pic] 0. Remarque : (5) et (6) sont particulièrement utiles

reponse toupper (getchar()) while ( reponse O ) 2. Validation de donnes crire un bloc dinstructions permettant de saisir et valider lge dune personne (un entier situ entre 1 et 125). Solution const int MAXI 125 int age, valide / Oui ou non lge est valide / do printf(Entrez lge entre 1 et d , MAXI)

10−2 × 5 3 1 2 1 3 B= C= A= + × + 1 4 4 3 3 10−1 3+ 4 Exercice 2 Écrire D sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers. D= 3 12 + 27 − 5 3. Exercice 3 E = (2x − 3)2 − 3(2x − 3). 1. Développer E . 2. Factoriser E . 3. Résoudre l’équation (2x − 3x)(2x − 6) = 0. 4. Calculer E pour x = 2. (on écrira le résultat sous la forme a − b 2 où a et b sont deux nombres entiers). Exercice 4 1. Calculer le PGCD de 696 et 406. 406 irréductible. 2. Rendre la fraction 696 A CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES