Entier naturel

Un capital de 10 000 € placé au taux fixe 3% par an , à intérêts composés, produit au bout de n années un intérêt de f(n) = 10 000 ( 1,03n -1) € . Ici on peut considérer que l'ensemble de départ de la fonction f est IN, ensemble des nombres entiers naturels (bien sûr on pourrait considérer que l'ensemble de départ est IR , et que IN est l'ensemble de définition de cette fonction) . Une probabilité est une fonction. Elle associe à chaque événement d'une tribu un nombre réel compris entre 0 et 1.

+ 2) (n + 3) = (n + 1) (3 (n + 1) + 5) (n + 1) (3n + 8) ′ = = Sn+1 2 (n + 1) (n + 2) (n + 3) 2 (n + 2) (n + 3) 2 Donc Hn+1 est encore vraie. Ainsi, Hn est fondée et héréditaire, elle est donc, d’après le principe de récurrence, vraie pour tout entier n non nul. 3) (a) Une simple vérification : 1 1 k+2−k 2 − = = k k+2 k (k + 2) k (k + 2) (b) La somme Sn va, à l’aide de la décomposition précédente, devenir télescopique : n Sn = k=1 n 2 = k (k + 2) 1 − k n n k=1 1 1 − k k+2 n

provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez des conseils d’ordre pédagogique : écueils à éviter, erreurs à ne pas commettre, conseils de rédaction

une interprétation. E(X) = 9 × 0, 02 + 0, 17 − 0, 81 = −0, 46 . Le jeu est donc défavorable pour le joueur. En moyenne chaque joueur perd 0,46 € par partie. 4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2) a. Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn = 1 − (0, 9)n . L’épreuve de Bernoulli associée à l’expérience est de loi : Evénement Probabilité Lance B 0,1 Lance pas B 0,9

B = (e1 , e2 , e3 ) est une base de E et ecrire la matrice B de u dans cette base. (c) Que peut-on alors dire des matrices A et B ? ` PROBL E ME Notations et rappels Dans tout le probl` me, C d´ signe le corps des nombres complexes et n un entier naturel e e ´ ` ` sup´ rieur ou egal a 2. On note Mn (C) l’alg` bre des matrices carr´ es d’ordre n a coefficients e e e complexes ; le groupe des matrices inversibles de Mn (C) est not´ GLn (C) et la matrice identit´ e e se notera In . Pour toute matrice

= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20 ; 24 ; 25 ; 30 ; 36} WS = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12} Notons aussi qu'il existe des expériences aléatoires qui comportent une infinité d'issues : · On choisit un entier naturel au hasard : W =  (Ce type d'ensemble infini est dit "dénombrable") · On choisit un réel au hasard entre 0 et 1 : W = [0, 1] (Ce type d'ensemble infini n'est pas dénombrable) · On choisit un rationnel au hasard entre 0 et 1: W =  Ç [0, 1] · On

a. Exprimons un+1 en fonction de un . Nous avons justifié, lors de l’écriture de la formule, le passage d’un terme au suivant par conséquent un+1 = 1,00226un + 25. b. Chloé décide d’écrire l’algorithme suivant : Variables n : un nombre entier naturel u : un nombre réel Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 600 Traitement Tant que . . . . . . Affecter à n la valeur n + 1 Affecter à u la valeur . . . . . . Fin Tant que Sortie Afficher . . . Complétons l’algorithme

provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez des conseils d’ordre pédagogique : écueils à éviter, erreurs à ne pas commettre, conseils de rédaction

d’un certains capital, qui capitalisé, atteint une valeur acquise croissante au fur et à mesure que le temps passe. b. Bref rappel sur les suites Dans cette leçon, nous considérerons des suites dont les indices de définition seront des entiers naturels, et dont les valeurs seront données dans l’ensemble des réels. *Suite arithmétique Une suite arithmétique de terme général raison r, et le numéro n du terme considéré. est définie par la donnée du premier terme , la Nous obtenons

élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1 » x (n entier naturel non nul) Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et k un réel. Somme (u + v )' = u '+ v ' Produit d’une fonction par un réel (ku )' = k u ' Produit (uv )' = u 'v + uv ' Carré (u 2 ) = 2uu ' ' Séquence 2