Entier naturel

de point focal de Thomas C. Schelling (1921– ), prix Nobel ´ d’Economie en 2005 (avec Robert J. Aumann) (image) : ´ Equilibre que les joueurs ont tendance ` jouer lorsqu’ils ne peuvent pas communiquer a car il leur semble ` tous les deux le plus “naturel”, sp´cial, ou pertinent (en faisant a e r´f´rence, par exemple, ` une culture commune) ee a 15/ Application. N´gociations internationales / Bien public e ´ n Etats n´gocient le niveau de leur ´mission de pollution si ≥ 0. L’utilit´ du pays i e

n = +∞ ? n →+∞ b) Que peut-on dire de la limite de un ? Prouver le résultat annoncé. 2 On considère la suite u n ( ) ( ) définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈» , ( ) un +1 = −un + 2n + 1. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un = n + ( −1)n . b) Déterminer alors la limite de un . Exercice 2 (7,5 points) 3u + 2 Soit (un ) la suite définie par u 0 = 6 et un +1 = n pour n ≥ 0. un + 4 3x + 2 1 Démontrer que la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par f (x )

et . Posons car . Par conséquent on a : Pour , et donc cd Pour , et donc cd 6. PARTIE C : car appartient à l'axe des abscisses. Car appartient à la droite d. car appartient à la courbe c. 1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3 on a : 2. a. La suite est une suite exponentielle croissante par composition de 2 fonctions décroissantes. b. et et La limite de la suite est donc 0. Exercice 2 : 1. Soit le point l'origine du repère et le point

suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (un ) et (v n ) sont adjacentes avec (un ) croissante et (v n ) décroissante alors pour tout entier naturel n, v n un . Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte

des fonctions continues est nulle part d´rivable, et nous en analyserons un exemple. e Fig. 1 – Ren´-Louis Baire (1874-1932) e 5 Pr´ambule e Durant tout ce travail, nous travaillerons sur base du Th´or`me de Baire ; e e il nous semble donc naturel de le pr´senter dans ce pr´ambule, et de donner e e sa d´monstration la plus classique, telle qu’elle est enseign´e dans les cours e e d’analyse fonctionnelle. Rappellons tout d’abord qu’un espace m´trique X est complet si toute e suite de Cauchy

gar¸cons ? Probabilit´es : Chapitre 1 Exercices Page 2 ≪ Sophie Espaces probabilis´es Exercice 11: On dispose d’une pi`ece pour laquelle la probabilit´e d’obtenir ≪ face ≫ est p ∈]0; 1[. On pose q = 1 − p. 1. Soit n un entier naturel non nul. On effectue n lancers ind´ependants de la pi`ece d´ecrite ci dessus. On note Fk l’´ev´enement ≪ on obtient face au k-i`eme lancer ≫ et Pk l’´ev´enement ≪ on obtient pile au k-i`eme lancer ≫. On cherche a` calculer la probabilit´e qu’au

tout x Î ]-1, +¥[, on a : ln(1 + x)  x Et que pour tout x Î ]-¥, 1[ : 3. a. Démontrer que pour tout n Î * : 1 ln(n + 1) = ln n + ln æ 1 + ö ç ÷ è nø b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n  2, on a : ln n  c. En déduire que la suite (un) est positive. 4. a. Démontrer que, pour tout entier n  2, on a : un - un-1 = b. En déduire le sens de variation de la suite (un). 5. Déduire des questions précédentes la convergence de la suite (un). La limite de la suite (un) , notée g, s'appelle

par habitant et par an pour atteindre moins de 390 kg de déchets par habitant et par an. On admet que la production de déchets municipaux en kg par habitant et par an est modélisée par une suite géométrique de terme général un où n désigne un entier naturel et un représente la production de l’année (2011 + n). On a alors u0 = 576. 1. a. Montrer que la raison de cette suite est égale à 0, 93. b. Calculer la production de déchets municipaux en kg par habitant en 2012. On arrondira le résultat à l’unité

et g ◦ f = IE . • Soit E → f F →g G. Si f et g injectives sur E et F[ resp. surjectives de E dans F et de F dans G] alors g ◦ f est injective sur E [ resp. surjective de E dans G]. C C C C C A venir : Chapitre 10 : Ensemble des entiers naturels N. Dénombrement. 

strictement croissante et qu'elle converge vers 1 . On définit la suite (vn) de terme général vn = ln (un) pour tout n  *, où ln désigne la fonction logarithme népérien. a. b. c. Montrer que v1 + v2 + v3 = ‒ln 4 . Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par Sn = v1 + v2 + ... + vn . Exprimer Sn en fonction de n . En déduire la limite de Sn lorsque n tend vers + . page 4 sur 6 Exercice 4 (6 points) Partie A ex+1 On définit la fonction g sur l’intervalle ] ‒1 ; + [ par g(x)