Entier naturel

Simplifier un quotient : pour tous réels a, b≠ 0 et k ≠0, kb b attention : on ne peut pas simplifier si le numérateur ou le dénominateur n'est pas un produit II) PUISSANCES Pour tout réel a et tout entier naturel n 1, n fois n a = a × a ××a Pour tous réels non nuls a et b et tous entiers naturels non nuls n et p , on a : 1 a− n = n a0 = 1 a n a = a n−p  a n  p = a np a n × a p = a n p p a a n an n = n a n × b n =  ab  b b  III) RACINE CARRÉE Soit un réel positif a. Le nombre 

possibles de ces 3 produits par ordre de préférence ? On peut le vérifer en les listant tous : (A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A) (C,A,B) (C,B,A) 2- Permutation: cas général On appelle factorielle, notée n!, la fonction qui à tout entier naturel n associe l'entier : n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ...3 × 2 × 1, C'est aussi le nombre de permutations. Interprétation: Cette fonction dénombre l'ensemble des rangements ordonnés possibles dans un ensemble de n éléments. C) Arrangements

cubique à la main Et les nombres négatifs... Extraire une racine carrée avec des soustractions : le gnomon Extraire une racine à la règle et au compas | Extraire une racine carrée à la main : voir dynamiquement Ci-dessous, entrer un nombre entier plus petit que 100 000 000 et valider en cliquant OK. L'algorithme se déroulera petit à petit . Description de l'algorithme Ci-dessous, un exemple extrait d'un manuel de 1910 pour le cours supérieur de certificat d'études - 11

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f . BLes dérivées des fonctions usuelles Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df′ son domaine de dérivabilité. f(x) f′(x) Df Df′ λ 0 R R x 1 R R xn (n⩾1) nxn−1 R R 1xn (n⩾1) −nxn+1 R∗ R∗ x−−√ 12x√ R+ R+∗ CLes opérations sur les dérivées

a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Exprimer l'espérance mathématique de X en fonction de m. c)On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle. Déterminer m pour que le jeu soit équitable. 3- Soit n un entier naturel non nul. On joue n fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac. Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à 0,999.

2 + 1 x),5 1°) Justifier que dans l'anneau (~/871.1 Inverse. 2°) Résoudre dans 2/ 82 l'équation 4x = 4. 3°) Résoudre dans (2/ 82 ) 2 est inversible ellrom'er son le système: 5X+6 Y =3 { 3x + 2y = 5 . 4°) Déterminer tous les entiers naturels divisible par 8. n tels que n x 7211 + 4n -1 soit PROBLEl\lE f est la fonction de f n~ vers ]Pl définie par: eX ) = lnlxl - -lnlxl . x (C) la courbe représentative de f dans le plan repère orthonormé (0; T, J). On désigne par mUni d'un

18 16 ou ou 19 a) Le joueur doit saisir 0 pour Pile et 1 pour Face. b) Avec une Casio, on peut, par exemple, ajouter après l’affichage « Perdu… », l’instruction : 17 L’objectif est de simuler le jeu suivant : le joueur doit deviner le nombre entier, entre 0 et 9, obtenu « au hasard » par le logiciel. 4 Avec une TI, on peut, par exemple, ajouter après l’affichage « Perdu… », l’instruction : THÈME 4 (page 16) Activité 1 23 1 En parcourant le pourtour du carré dans le sens inverse des aiguilles

102) − P (X 98) ≈ 0,97494 − 0,02506 ≈ 0,94988 Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme est p = 0,05. 2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 100 et on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants. Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de l’échantillon

résultat afin de traiter les questions suivantes. Les copies mal rédigées ou mal présentées le sont au risques et périls du candidat. La formule de Stirling, hors-programme, ne devra pas être utiisée. PROBLÈME Dans le problème, n désigne un entier naturel non nul. Il est possible de traiter les deux parties du problème de façon indépendante. PREMIÈRE PARTIE cos(nx) . n2 1 - On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence

probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. au millième près. c. On donne le tableau suivant : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0091 0,0637 0,2110 0,4467 0,6943 0,8725 0,9616 0,9922 0,9990 0,9999 Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne au moins N parties ». À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à ? . La probabilité de gagner 7 parties ou plus est inférieure à 0,1