Entier naturel

 : Dans cet exercice, on arrondira tous les résultats à l’entier le plus proche. Partie A 1. Calculer p0 ; p1 ; p2. (1 point) 2.  Quel a été le pourcentage d’évolution de la population entre 1972 et 1973 ? (0,5 point) 3. Montrer que pour tout n entier naturel que : pn+1 = 1,018 pn + 16 (0,5 point) Partie B Soit ( Un ) la suite définie par : Un = pn – L 1. Déterminer L pour que ( Un ) soit géométrique (arrondir L à l’entier le plus proche). (1 point) 2. Préciser la raison et le premier terme de la suite

coureurs. 2 x – 12 + 1 = 35 d’où x = 46. 3 2 022 – 2 011 + 1 = 12 années. CHAPITRE Suites. Suites arithmétiques. Suites géométriques (page 118) Activité 2 2 d2 5 d3 5 2 d4 5 4 d5 5 8 d6 d7 d8 d9 d10 5 5 5 5 5 16 32 64 128 256 1 3 Pour tout entier n, dn+1 = dn. 2 b) x – 159 + 1 = 20 d’où x = 178. L’équipe a reçu les dossards numérotés de 159 à 178. 4 a) 12 intervalles, 13 multiples de 5. b) Le plus petit multiple de 5 est 145, le plus grand 215. Ils sont « distants » de 70 donc 14 intervalles

croissante si le terme est toujours plus grand que le terme . Pour démontrer qu'une suite est croissante, on peut calculer et montrer que le résultat est positif. Pour le premier exemple, cela démontre que cette suite est croissante. Si pour tout entier naturel n on a alors la suite u est dite décroissante. Une suite monotone est une suite qui est soit croissante soit décroissante. Une suite est majorée si il existe un nombre M tel que pour tout nombre n, (tous les termes sont plus petits que M)

l’égalité exp(A) exp(B) = exp(A + B). II. Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable Soit A ∈ Mn (R) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont : λ1 < λ2 < · · · < λr , où r désigne un entier vérifiant 1 r n. 3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note Rr−1 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r − 1. On considère l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1

deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante alors, pour tout entier naturel n, vn ≥ un. Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte

représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j) (Unité graphique : 4 cm) ≥ = II Soit (Vn) la suite définie pour par 1 ) a ) En remarquant que ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + ........................+ ln(n), montrer que, pour tout entier ≥ , on a − − = − (1) où f est la fonction étudiée dans la partie I. b ) Etudier le sens de variation de la suite (Vn) , puis le sens de variation de la suite (Un). 2 ) Montrer que, la suite (Un) converge vers un réel positif

1 ère S 4 Devoir Surveillé n ° 3 Barème : 1 ) 5 pts 2 ) 5 pts 3 ) 8 pts 4 ) 2 pts nom : voisin : - Durée 2 h - Calculatrices autorisées voisin : voisin : Commentaires : Lisez l’énoncé en entier avant de commencer et répondez bien aux questions qui vous sont demandées. Vous pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous souhaitez . La rédaction est importante. Soyez propre et clair . Bonne chance … FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE Ex1 : Résoudre les équations ci-dessous

et aux justifications données (plutôt qu'au résultat lui-même). Le barème est donné à titre indicatif pour vous aider à gérer votre temps. Exercice 1 : (4 points) Soit ( un réel positif. Démontrer l’inégalité (1 + ()n 1 + n( pour tout entier naturel n. Exercice 2 : (2 points) Soit n , étudier la limite suivante : 0)) Exercice 3 : ( 5 points) On considère la fonction f définie sur de la façon suivante : f(x) = – 2 ; – x si – 2 < x – 1 ; x² si –1< x 0 ; 0

DM 4 1S 2014-2015 Un problème digne d’attaque prouve sa valeur en ripostant. Piet Hein (1905-1996) Soit n un entier naturel non nul. On se propose de calculer en fonction de n les sommes suivantes : k=n k=n k=n k=1 k=1 k=1 k3 k 2 et S3 = 13 +23 +33 +· · ·+n3 = k, S2 = 12 +22 +32 +· · ·+n2 = S1 = 1+2+3+· · ·+n = Calcul de S1 On considère la fonction trinôme du second de degré f1 définie par f1 (x) = x2 x − . 2 2 1. Calculer f1 (1). 2. A l’aide

c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) . on a : (p/q)² = 2 donc p² = 2 q² * Comme p² = 2q² on peut dire que p² est un multiple de 2 ou encore 2 divise p² par conséquent 2 divise p aussi. * Comme 2 divise p , il existe donc un entier naturel p' tel que p = 2p' mais alors p² = 4p'² c'est à dire 2q² = 4p'² * on a 2q² = 4p'² par conséquent q² = 2p'² , donc q² est un multiple de 2 ou encore 2 divise q² donc 2 divise q. * 2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse