Entier relatif

fait ? Décomposition : 2 effets L’effet global d’une variation du prix de l’un des deux biens donne lieu à 2 effets : 1 effet substitution (ou effet prix) et 1 effet revenu. Ex (ici) : augmentation du prix d’un bien (bien 2) : modification des prix relatifs => le consommateur va avoir tendance, toutes choses égales par ailleurs, à augmenter la quantité demandée du bien devenu relativement moins cher (bien 1) et à diminuer la quantité demandée de l’autre bien (bien 2). la hausse du prix du bien 2 provoque

nombres relatifs opérations I.Les nombres relatifs Définition 1: Les nombres positifs et les nombres relatifs sont appelés nombres relatifs. ATTENTION: 0 est un nombre relatif. La droite graduée Définition 2: Deux nombres relatifs sont dit opposés lorsqu’ils ont des signes contraires (l’un positif, l’autre négatif) et des distances à zéro égales. Exemple: 1/3 et -1/3 sont deux nombres opposés. Attention ne pas confondre « opposé » et « inversé ». Question: x est un nombre relatif quel est

−1 a1 b2 c 8 ⋅ 10 ⋅ 1 = a1−3 ⋅ b2−10 ⋅ c 8 −1 = a −2 ⋅ b−8 ⋅ c 7 3 a b c Exercice n°3 (5 points) Trouver le nombre x dans les équations suivantes, en détaillant les calculs. On écrira les solutions sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier. a) 97+ x = 92 x −1 b) 8 x −4 = 26− x Comme on a la même base (9) de chaque côté : On transforme l’équation pour avoir la même base (2) de chaque coté : 7 + x = 2x − 1 − x = −8 (2 ) x =8 donc 3x − 12 = 6 − x 3 x −4 (indication : 8 = 23 )

relative à la base canonique est à coefficients entiers. Inversement, si f est un automorphisme telle que f et f −1 soient représentés par des matrices à coefficients entiers dans la base canonique, il est immédiat que f (Zn ) ⊂ Zn et que f −1 (Zn ) ⊂ Zn donc que Zn ⊂ f (Zn ) et finalement f (Zn ) = Zn . Notons que les endomorphismes solutions peuvent aussi se décrire comme étant les endomorphismes canoniquement représentés par une matrice à coefficients entiers et qui sont de déterminant égal à 1 ou −1

l’ensemble des entiers relatifs II - Division euclidienne III - Congruence modulo n (n entier au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il

et 2 sont indépendantes. Soit n un entier naturel non nul. 1. On considère l’équation notée (E ) : 3x + 7y = 102n où x et y sont des entiers relatifs a. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u + 7v = 1. En déduire une solution particulière x0 ; y 0 de l’équation (E ). b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E ). 2. On considère l’équation notée (G) : 3x 2 + 7y 2 = 102n où x et y sont des entiers relatifs a. Montrer que 100 ≡ 2 (7). Démontrer

Les nombres entiers a) On peut compter des objets : 0 (il n’y a pas d’objet `a compter), 1, 2, 3, 4, .... C’est ce qu’il y a de plus naturel. On appelle ces nombres les entiers naturels. b) Un ascenseur peut descendre dans les sous-sols, la temp´erature descend en dessous de 0˚C, on plonge en dessous du niveau de la mer, . . . On introduit ainsi les nombres n´egatifs tels que : -1, -2, -10, -300, ... Les entiers n´egatifs et positifs forment l’ensemble des nombres entiers relatifs. Un nombre

Les nombres entiers a) On peut compter des objets : 0 (il n’y a pas d’objet ` compter), 1, 2, 3, 4, .... C’est ce qu’il y a de plus a naturel. On appelle ces nombres les entiers naturels. b) Un ascenseur peut descendre dans les sous-sols, la temp´rature descend en dessous de 0 C, on plonge en e ˚ dessous du niveau de la mer, . . . On introduit ainsi les nombres n´gatifs tels que : -1, -2, -10, -300, ... e Les entiers n´gatifs et positifs forment l’ensemble des nombres entiers relatifs. e Un nombre

ENSEMBLE DE NOMBRES Définition et notation : 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ . 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ . 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)