Entier relatif

un feu vert. Ex 2 : (candidat de spécialité Maths) c) Quel est le reste dans la division euclidienne de 2341 par 7 ? d) i) Ecrire l’algorithme d’Euclide pour déterminer PGCD(145 ;55) ii) Déterminer un couple (u,v) d’entiers relatifs tels que 145u+55v= PGCD(145 ;55) |BAC Série S - Oraux | |Sujet n° 2 |Fonctions

1 sur 8 ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations Non exigible 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. ℕ= {0 ;1;2 ;3 ;4...} . Exemples : 4 ∈ℕ -2 ∉ ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.  = {...−3 ;−2 ;−1; 0 ;1; 2 ; 3 ...} . Exemples : -2 ∈ ℤ 5∈ ℤ 0,33 ∉ ℤ 3. Nombres décimaux

combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 2. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : «rand(1, 50)» permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1 ; 50] l'écriture « » désigne l'affectation d'une valeur à une variable . Variables sont des variables du type entier Initialisation Traitement Tant que ou ou ou ou ou ou ou ou ou Début du tant que Fin du tant que Sortie Afficher a) Parmi

M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x + 2y = 1 et vérifiant z 25. b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Déterminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant : −3x + 2y = 1 et z E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 25. a. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) : −3x + 2y = 1. 5 points = = =

Math révisions 1) Nombres entiers et rationnels : Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls Les entiers relatifs sont les entiers négatifs, positifs, ou nuls (c’est-à-dire tous les entiers naturels et leurs opposés) Les décimaux sont les nombres s’écrivant sous la dorme a/10^n avec a et n entiers relatifs. (ce sont les nombres à virgule = partie décimale finie) Les rationnels sont les nombres s’écrivant sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul Les irrationnels

Bezout : « Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 » b) Il suffit de trouver une combinaison linéaire de a et b judicieuse pour éliminer n : (−7)a + (9)b = −63n − 35 + 63n + 36 = 1 Il existe donc un couple (−7; 9) tel que −7a + 9b = 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n 2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise

des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46]. 1. On considère l’équation (E ) : où x et y sont des entiers relatifs. a. (−2; 1) est une solution de (E ) car −2 × 23 + 1 × 47 = 1. 23x + 47y = 1 5 points b. (x ; y) solution de (E ) ⇒ 23x + 47y = 1 23x + 47y = 1 par soustraction 23(x + 2) + 47(y − 1) = 0 ⇒ 23(x + 2) = 47(1 − y) ⇒ −2 × 23 + 1 × 47 = 1 Donc 23 divise 47(1 − y), mais 47 et 23 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, 23 divise 1 − y. Donc il existe un entier relatif k tel

définie par : (n) ∀n ∈ N, Ln = Un . Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Ln est une fonction polynomiale à coefficients entiers relatifs de degré n. Lemme 23.4 Si (Ik )k∈N est la suite de réels définie par : 1 ∀k ∈ N, Ik = sin (πt) tk dt, 0 alors :   I0 = 2 , I1 = 1 ,  π π 1 k (k − 1)   Ik = − Ik−2 (k ≥ 2) π π2 et pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme Qk à coefficients entiers relatif de k 1 1 degré tel que Ik = Qk . 2 π π2 On définit

nombre relatif a non nul et pour tout entier positif n supérieur à 1 : 1 a n = a × a × a × × a et a − n = n . a n fois n et p sont des nombres entiers relatifs : a n × a p = a n + p a et b sont des nombres entiers relatifs : (a ) n et p sont des nombres entiers relatifs : an = an− p ap Exemples : 1 1 = 2 = 10 −2 10 × 10 10 1 1 = 3 = 10−3 10 × 10 × 10 10 n p = a n× p 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 52 = 5 × 5 1 1 3−2 = 2 = 3 9 Règle des signes (5ème ) Pour additionner deux nombres relatifs de même

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations Non exigible 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. ℕ= . Exemples : 4 ℕ -2 ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. = . Exemples : -2 ℤ 5 ℤ 0,33 ℤ 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre