Entier relatif

de nombre. *Décrire et nommer 1-Entiers naturels  entiers naturels (positifs) ex : ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ) -pour l'addition l'entier naturel est stable -pour la soustraction l'entier naturel n'est pas stable ex : (2-3 = -1 ) -1 n'est pas un entier naturel 2-Entiers relatifs ex : ( ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ) L'ensemble des entiers relatifs sont stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication. Tout entier naturel est un entier relatif.   3-Nombres décimaux -Ce sont les

Vincent Obaton ) e -2- 2007 – 2008 ´ Etude de N et Z Classe de Terminale S (Option Maths) Table des mati`res e 1 Quelques rappels 1.1 L’ensemble des entiers naturels (N) 1.1.1 D´finition . . . . . . . . . . e 1.1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . ee 1.1.3 Quelques axiomes . . . . . 1.2 L’ensemble des entiers relatifs (Z) . 1.2.1 D´finition . . . . . . . . . . e 1.2.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . ee 1.2.3 Quelques axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2|Jeudi 29 novembre 2007| Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. 2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel. a) Montrer que M et N sont des entiers pairs. b) En remarquant que N = M + 2 ,

l’ensemble {1; 2; 3; 8; -25} II Les ensembles de nombres : a) Les entiers Def : N désigne l’ensemble des entiers naturels. N ={0;1 ;2 ;3 ;4;…} Z désigne l’ensemble des entiers relatifs. Z ={…;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;…} Exemples : 3[pic]N ; Et 3,5[pic]N On a N[pic]Z b) Les décimaux Def : D désigne l’ensemble des nombres qui sont le quotient d’un entier par 10k où k est un entier naturel. Rq : En d’autres termes un nombre décimal peut s’écrire sous la

des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale Transcodage ou changement de base Plan Codage des nombres Codage des entiers positifs (binaire pur ) Codage des entiers relatifs (complément à 2 ) Codage des nombres réels ( virgule flottante) Codage des caractères : ASCII et ASCII étendu, Unicode , … Codage du son et des images Codage d’information Les informations traitées par les ordinateurs

demi-droite [AC) au-delà de C ) Soit n ≥ 3 un entier et soit a2 , a3 , . . . , an des nombres réels strictement positifs tels que a2 a3 · · · an = 1. Montrer que : Problème 2. (1 + a2 )2 (1 + a3 )3 · · · (1 + an )n > nn . Problème 3. La devinette du menteur est un jeu joué par deux joueurs A et B . Les règles du jeu dépendent de deux entiers strictement positifs k et n, connus par chacun des deux joueurs. Au début du jeu, le joueur A choisit deux entiers x et N vériant 1 ≤ x ≤ N . Le joueur A garde

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ . ℕ = {0 ; 1; 2 ;3 ; 4...} . Exemples : 4 ∈ℕ -2 ∉ ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ . ℤ = { 3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...}. ...− Exemples : -2 ∈ ℤ 5∈ ℤ 0,33 ∉ ℤ 3. Nombres

calculer les puissances d’un nombre entier. Savoir utiliser les égalités suivantes : m n a xa =a m+n n n n , (ab) = a x b , a m =a m-n , où a, m et n sont des entiers relatifs non nuls. a Connaître la définition d’une puissance de 10. Savoir calculer les puissances de 10. Savoir écrire un nombre décimal sous forme de puissance de 10. Savoir utiliser les égalités suivantes : 1 -n mn m n m+n m n 10 x 10 = 10 , n = 10 , (10 ) = 10 où m et n sont des entiers relatifs. 10 Connaître la définition de

naturels relatifs sont des entiers relatifs, on en déduit que 16n2 − 48n + 33 est un entier relatif. D’autre part, on a l’égalité : 16n2 − 48n + 33 = 4(2n − 3)2 − 3. Puisque, n ∈ Z, 2n − 3 ∈ Z∗ et donc |2n − 3| ≤ 1. D’où (2n − 3)2 ≤ 1. Il s’en suit que l’on a 4(2n − 3ř2 − 3 ≤ 4 − 3 = 1. Donc : 16n2 − 48n + 33 ∈ N. On a ainsi démontré que pour tout entier relatif n, 16n2 − 48n + 33 ∈ N. 2. Soit x ∈ Q+ . Il existe deux entiers p, q (p ∈ Z, q ∈ N∗ ) tel que x = p . Comme q est un entier strictement

[pic]est irrationnel. Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration : Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier. Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que [pic] Si [pic], alors [pic] avec [pic]or [pic]donc [pic]; Il existe donc bien un entier M tel [pic]. On arrive bien à la conclusion : Donc si a est pair alors a2 est pair Si a est un nombre impair