Équation cartésienne

Baccalauréat S France 15 juin 2007 (correction) E XERCICE 1  3 points  1 − 1. (P) a pour équation cartésienne : x + 2y − z + 1 = 0. Un vecteur normal à (P) est : →  2 . n −1   −1 → − (P’) a pour équation cartésienne : −x + y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : n ′  1 . 1 −′ →.→ = (1 × (−1)) + (2 × 1) + (−1 × 1) = −1 + 2 − 1 = 0 donc les vecteurs → et → sont orthogonaux. Les plans (P) et (P’) sont − −′ − Alors : n n n n perpendiculaires. 2. Les deux plans étant perpendiculaires

• l'unique force à laquelle est soumis le projectile est sa force de pesanteur r • l'accélération gravitationnelle g est constante (en norme et en orientation) dans la région où se déplace le projectile. Choix du repère On choisit un repère cartésien dont l'axe y a la même direction que celle du vecteur r accélération gravitationnelle g (la verticale) et dont le sens (vers le haut) est opposé à celui de ce vecteur. On place l'origine du repère à la position initiale du projectile (c.f. fig. ci-dessous)

est donc solution de l'équation. Dit autrement 1.2. Forme algébrique Un nombre complexe s'écrit sous la formeoùest le nombre complexe qui vérifie est la partie réelle de est la partie imaginaire de est appelé la forme algébrique ou forme cartésienne de est réelle si sa partie imaginaire est nulle () est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle (). L'ensemble des imaginaires purs est noté Saisie Maxima Résultat realpart(2-3*%i) 2 imagpart(2-3*%i) -3 1.3. Calculs dans a) Addition

second degré - Équations et inéquations I Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Résolution de l’équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Équation du second degré

− b) + 2b( x − a) où a et b sont des nombres réels non nuls. 1) Calculer P(0), P(a) et P(b). 2) Déterminer le signe de P(0), P(a) et P(b) dans les cas suivants : α) 0 < a < b β) a < 0 < b 3) En déduire l’existence dans , des racines de l' équation P(x) = 0 et leurs positions par rapport à a et b dans les cas α et β. ( x − 2) 2 . x −1 c 1) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( x) = ax + b + . x −1 En déduire que la courbe ( ) de f admet une asymptote oblique dont on précisera

k ). On considère les points A (2, 0, 0) ; B (0, 3, 0) et C (0, 0, 4). 1. a. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan. b. Donner une représentation paramétrique du plan (ABC). c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 2. On considère le plan (Q) d’équation cartésienne x – 2z – 2 = 0. a. Démontrer que les plans (ABC) et (Q) sont orthogonaux. b. Déterminer une représentation paramétrique de leur intersection. 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt 0,5 pt → → → PARTIE B : L’évolution

ou faux. Aucune justification n’est demandée. 13 1) Pour tout réel x, on a :cos(x + ) = sin x 2 2) Si A (1, 3 ) alors les coordonnées polaires de A sont :(2,  ) 3 2 et - 2 3) Les solutions dans C de l’équation z2 +2 = 0 sont 4) La forme cartésienne du nombre complexe z = 3 + i(4+i) est 2 + 4i 5) Soit f une fonction définie sur un domaine D tel que pour tout x appartenant à D , 4 – x  D et f(4 – x) = 2 – f(x) alors le point A(2,1) est un centre de symétrie de la courbe représentative (C) de

. . . . . . 14 15 16 17 Fonctions usuelles, suites numériques Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques Fonctions polynomiales de Tchebitchev Fonctions usuelles, équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une transformation sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions usuelles Ensembles, applications, structures 11 12 13 14 15 16 Etude d’une application

(2) [pic] 2-Rappels mathématiques Les équations de transfert de chaleur et de matière d’après (Cars-law & Jaeger ; Crank, 1970). Plaque en coordonnées cartésiennes  [pic] Cylindres en coordonnées cylindriques [pic] Où ф représente la concentration massique ou de la température. Ω représente la diffusivité thermique. Les conditions aux limites sont : [pic] Les solutions des équations (3) et (4) sont données respectivement par (8) et (10) :

du (7) 5. Calcul du produit scalaire à l’aide des coordonnées Démonstration : [pic] dans le repère orthonormal [pic] [pic] [pic] Théorème : Soit [pic] un repère orthonormal Si [pic] alors [pic] 6. Applications a. Equation d’une droite Exemple : Quelle est la droite D orthogonale au vecteur [pic] passant par [pic]. On suppose le repère orthonormal. [pic] ssi [pic] ssi [pic] [pic] donc [pic] Exemple : Quelle est la droite D passant par [pic] et de