Équation différentielle

d’exercices I Avant-propos Ce recueil d’exercices d’analyse numérique est un outil complémentaire aux exercices du manuel de référence du cours, pour aider les étudiants des différentes versions du cours Méthodes numériques pour les équations différentielles ordinaires (MTH1210) de l’École Polytechnique de Montréal à se préparer à réussir les examens. Il est conseillé d’abord de faire (et comprendre) tous les exercices suggérés du manuel de référence Analyse numérique pour ingénieurs par André

Limite, adhérence et ouverture . . . 1.3 Limite et continuité d’une fonction . . . . . 1.3.1 Limite d’une fonction en un point . . 1.3.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dérivées partielles et fonctions de classe C 1 1.5 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . 1.6 Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Cas des fonctions numériques . . . . 1.6.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . 1.8 Extrema libres . . . . .

− sin ϑ cos ϑ 0 r r r y1 = − sin ϑ x0 + cos ϑ y0 = 0 r r z1 = z0 = 0 0 0 1 Lycée La Fayette CPGE ATS – Equations différentielles pour les sciences Page 1 ecazade@aol.com Les équations différentielles en sciences 1. L’EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU PREMIER ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS : 1.1. Quelques exemples d’utilisation de l’équation différentielle linéaire du premier ordre : 1.1.1. Utilisation en électricité : Le circuit RC est un filtre que l’on rencontre très

nombreux systèmes physiques dans des conditions d’approximation à définir. Ce chapitre présente le prototype le plus élémentaire d’oscillateur harmonique : le système masse-ressort horizontal non amorti, la mise en équation du mouvement de la masse et la résolution de l’équation différentielle harmonique. Les méthodes d’étude et de résolution présentées dans ce chapitre se retrouveront tout au long de l’ouvrage. Il est important de bien les maîtriser. Les exercices permettent de mieux cerner le cadre

. . . . . . . . . 3.2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Cas d’une équation différentielle d’ordre 2 . . . . . . . 3.2.4 Stabilité en un point singulier . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Rappel sur la résolution d’un système différentiel linéaire 3.2.6 Nature des points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Segments singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8 Cycles limites . .

La fonction exponentielle I – Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1 Définition : Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle. La résoudre sur un intervalle I c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité. Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur  telles que pour tout réel x : f’(x) = f(x). L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale. Propriété : Preuve 1 S’il existe une fonction f dérivable sur 

problème à résoudre A la date t = 0 on connaît le nombre de noyaux N(0). L’équation différentielle de décroissance radioactive s’écrit : [pic] = – λ N(t). Dans certain cas, on peut très bien avoir établi une équation différentielle mais ne pas savoir la résoudre (on le verra plus tard en mécanique). Une méthode permet quand même de tracer de façon approchée la courbe solution de cette équation différentielle et donc de pouvoir l’exploiter (afin de trouver une demi-vie par exemple). C’est la méthode

somme des k premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique. Équations, inéquations, systèmes d’équations • Reconnaître une situation conduisant à une mise en équation ou en inéquation du 1er degré, à un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues et à coefficient numériques • Résoudre algébriquement un système linéaire de deux équations à deux inconnues. • Résoudre graphiquement un système linéaire de deux équations à deux inconnues. • Résoudre graphiquement f(x) = g(x). • Déterminer

dérivées. 3. Calcul de dérivées. 4. Équation de tangente et de droite normale. 5. Pente de tangente. 6. Équation de tangente. 4 7. Équation de tangente et de droite normale. 8. Équation de tangentes. 9. Équation de tangente et point d’intersection. 10. Calcul de dérivées successives. 11. Calcul de dérivées successives. 12. Taux de variation moyen et taux de variation instantané. 13. Dérivation implicite. 14. Équation de tangente et représentation graphique.

. . . . . . . . . . . . . . 4 Equations Différentielles 4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Equation différentielle d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Equation différentielle linéaire “homogène” . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Equation différentielle linéaire homogène à coefficients constants 4.1.5 Equation différentielle linéaire non homogène. . . . . .