Espace affine

Différentiel et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons

d’optimisation, il est nécessaire de connaître un minimum d’outils mathématiques relatifs au calcul différentiel. Pour de plus amples informations ou exercices, on se reportera par exemple à [2]. 1.1 Différentielle et gradient On se place dans des espaces vectoriels normés de dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la

. . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Fonction continue partout dérivable nulle part . . . . . . . . . 1.5.3 Fonction dérivable dans toutes les directions mais non continue 1.5.4 Variétés de Rn , théorème de Jordan . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . 5 6 7 7 10 11 13 13 16 17 18 18 19 20 21 21 21 23 24 26 Extrema 2.1 Cadre et définitions . . . . . . . . 2.2 Résultats liés à la compacité . . . 2.3 Résultats de calcul différentiel . . 2.3

absolument continue (variable aléatoire) Voir variable aléatoire (typologie). (absolutely continuous random variable) (acceptance region) (additivity) F G acceptation (région d’) Voir région d’acceptation. H I additivité Soit un espace probabilisable (Ω, A). On s’intéresse aux applications définies sur l’ensemble A des évènements et à valeurs réelles positives, et on veut caractériser la propriété qui fera d’elles des mesures (en langage mathématique général) ou des mesures de probabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 G´eom´etrie analytique

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur

Mohamed et Hasan bin Mûsa ibn Shâkir, travaillant dans la maison de la sagesse (Bayt al-Hikma) à Bagdad. i Table des matières 1 Introduction aux Distributions 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Espaces des fonctions tests-Espaces des distributions 1.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . 1.4 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . 1.5 Transformées de Fourier et de Laplace . . . . . . . . 1.6 Travaux Dirigés . . . . . . . .

2008 1 1 I.Harlouchet-en eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses

d’exigences pour la e suite du cursus, ` d´gager les points cl´s permettant de structurer le travail pera e e sonnel de l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski

nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice B ∈ Mn (C) telle que B 2 = I + A. Exercice 5 [ 00712 ] [correction] Soit D = diag(a1 , . . . , an ) ∈ Mn (K) et ϕ : M ∈ Mn (K) → DM − M D a) Déterminer noyau et image de l’endomorphisme ϕ. b) Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts. Exercice 11 [ 03144 ] [correction] Soit n ∈ N avec n 2. a) Montrer que {A ∈ Mn (R)/∀M ∈ GLn (R), AM = M A} = {λIn /λ ∈ R} b) Soit A ∈ Mn (R). On suppose que ∀M, N ∈ Mn (K), A = M N ⇒ A = N M Montrer