Espace affine

complexes). Ces résultats permettent d'énoncer la proposition suivante : PROPOSITION : Soit a réel ou complexe. Alors : i) les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme y = λe–ax, où λ est un scalaire quelconque. Elles forment un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction e–ax. ii) Si l'on fixe une condition y(x0) = y0, alors cette solution est unique. iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle. b) Caractérisation de l'exponentielle

x0 et r´ecipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a ÖX × x0 , VarÔX Õ ϕX Ôθ Õ 0, eiθX eiθx0 . Fonction de r´ epartition Mesure de Dirac en x0 1 1 0 0 x0 x0 On pourra prendre pour d´efinition : D´ efinition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´epar´e (tous les singletons sont mesurables). Toute loi discr`ete sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique finie ou d´enombrable de mesures de Dirac. 1.2. Lois de Bernoulli D´ efinition 2. — Soit p È Ö0, 1×. On appelle loi de Bernoulli

Espaces vectoriels norm´s e Table des mati`res e A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e I. Normes 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 II. D´finitions ensemblistes e 1) Boules, parties

créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme

d’espace vectoriel 114 125 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications 153 153 156 165 Probabilités 173 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2. Variables

. . 1.3.2 Structures alg´briques des mots de codes . . . . . . . e Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alg`bre lin´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.3.3 Codage bijectif d’un bloc . . . . . . . . . . . . . . . . Inverse modulaire : algorithme d’Euclide . . . . . . . . L’indicatrice

= 1 mais f’(x) ≥ 0 pour tout réel x f 2. Une fonction peut admettre un extremum sans être nécessairement dérivable, en effet : considérons la fonction f définie sur IR par 0f ( x ) n’est pas dérivable en 1. = x −1 +1 . f est une fonction affine par morceaux, f admet un minimum f (1) = 1 sur IR or f 0 Page 5 sur 7 Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES VI DERIVEE D’UNE FONCTION COMPOSEE 1 THEOREME ( admis ) g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est

Total 80000 On trace ensuite le polygone des effectifs cumulés croissants : 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 0 3 6 9 Q1 12 15 me 18 Q3 21 24 Si N est l'effectif total et ¦ la fonction affine par morceaux correspondant au polygone des effectifs cumulés croissants. Alors, on considère que les quartiles et la médiane sont définis par : æ Nö Q1 = ¦ -1 ç ÷ è 4ø æ Nö me = ¦ -1 ç ÷ è 2ø æ 3N ö Q3 = ¦ -1 ç ÷ è 4 ø Statistiques Page 5

graphique de fonctions, • calcul de limites … Illustrons cela à l’aide de l’exemple précédent : ⎧ ⎪ −9x + 17 ⎪ ⎪ ⎪ f (x ) = 5 ⋅ 2x − 4 − 3 − x = ⎨11x − 23 ⎪ ⎪ ⎪ 9x − 17 ⎪ ⎪ ⎩ si x ≤ 2 si 2 ≤ x ≤ 3 si x ≥ 3 f est une fonction affine par morceaux : son graphe est constitué de morceaux de droites c.-à-d. de segments et de demi-droites : y = f (x ) Graphiquement on observe que l’équation f (x ) = 5 a deux solutions. Ce sont les abscisses des deux points bleus sur la

. . . vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 4.5.2 Droites dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . 5.1