Espace affine

156 165 173 175 175 182 186 189 197 197 200 206 208 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications Probabilités 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2. Variables aléatoires sur un ensemble

L’INTEGRATION Gijs M. Tuynman 20 septembre 2007 1 ´ ´ THEORIE DE L’INTEGRATION 2 `res Table des matie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Tribus La droite achev´ee Applications mesurables Espaces produits Subdivisions et fonctions ´etag´ees Mesures L’int´egrale de fonctions positives Le th´eor`eme de convergence montone de Beppo-Levi L’int´egrale de fonctions r´eelles ou complexes Le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue Unicit´e

langage mathématique et raisonnements 2. Ensembles et applications 3. Relations 4. Le corps des nombres complexes 5. Groupes 6. Anneaux et corps 7. L’anneau des matrices 8. L’anneau des polynômes Le cours d’algèbre du second semestre sera consacré aux espaces vectoriels, à l’algèbre linéaire et aux équations différentielles. 4 Chapitre 1 Logique, langage mathématique et raisonnement 1.1 Éléments de logique Définition 1.1.1. Une proposition logique est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer

. . . . . . . . I.7 Fonctions continues sur un espace métrique Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . I.2 Propriétés des fonctions continues . . . . . I.3 Propriété des valeurs intermédiaires . . . . I.4 Fonctions semi-continues . . . . . . . . . . I.5 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . I.6 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . I.7 Fonctions continues sur un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lyon 5e édition Maquette intérieure : Lasertex Couverture : Bruno Loste © Dunod, Paris, 2008 © Dunod, Paris, 1996 pour la première édition ISBN 978-2-10-053970-3 Table des matières Cours CHAPITRE 1 1.1 1.2 Compléments d’algèbre linéaire 3 Espaces vectoriels 4 1.1.1 1.1.2 4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème

. . . vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 4.5.2 Droites dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Espaces euclidiens et applications linéaires 5.1 Espaces de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Norme et distance dans Rn . . . . . . . . . . . 5.1

subdivisions M´ethodes des trap`ezes Approximation par une fonction affine par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 11 points M´ethodes des trap`ezes Approximation par une fonction affine par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 11 points 10 subdivisions M´ethodes des trap`ezes Approximation par une fonction affine par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Fonctions affines Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :      Exercice 1 : antécédent, image, résolution d’équation, représentation graphique d’une fonction affine (coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite) Exercice 2 : détermination d’une fonction affine, taux d’accroissement Exercice 3 : fonction affine par intervalles (par morceaux) Exercice 4 : sens de variation d’une fonction affine Exercice 5 : signe d’un binôme , inéquation du premier degré

2­ Soit Cf  la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A. 3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T. (en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x)) Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 2 −x −3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . f '(x) = x2 ­ 2x ­ 3 = (x ­ 3)(x + 1). f '(x) est un t

r´cipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a e a e ÖX × x0 , VarÔX Õ 0, 1 ϕX Ôθ Õ eiθX eiθx0 . Mesure de Dirac en x0 1 Fonction de r´partition e 0 x0 0 x0 On pourra prendre pour d´finition : e e e D´finition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´par´ (tous les singletons sont mesurables). e e Toute loi discr`te sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique finie ou d´nombrable de mesures e de Dirac. 1.2. Lois de Bernoulli D´finition 2. — Soit p È Ö0, 1×. On appelle loi de Bernoulli