Espace vectoriel normé

21/10/2010 Algèbre linéaire Contenu du cours : A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation B. C. Partie 1 1 21/10/2010 Introduction : Rappels Systèmes d’équations linéaires Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous

Un exemple d’espace vectoriel 114 125 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications 153 153 156 165 Probabilités 173 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2

les images de M et N par une translation alors on a MN = M 'N' 4. Caractérisation d’un point. Etant donné un point A et un vecteur u , il existe un point M unique tel que AM = u . 5. Norme d’un vecteur. Définition: On appelle norme du vecteur AB la distance AB. On note On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1. A B = AB . II) SOMME ET DIFFERENCE DE DEUX VECTEURS 1. Définition. Etant donné deux vecteurs u et v, on appelle somme du vecteur u et du vecteur v le vecteur, noté u+v, défini

Mathématiques DS2 Classe de 1S1 Jeudi 17 Octobre 2013 NOM : L’utilisation de la calculatrice est autorisée, mais leur prêt est interdit La notation tiendra compte de la rédaction et des explications fournies   Dans un repère O;i,j , on a les points A2;-5 et B-1;4. Calculez les coordonnées du vecteur AB. Expliquez pourquoi le vecteur u1;-3 est aussi un vecteur directeur de la droite ABDéterminez une équation cartésienne de la droite AB. Soit d1 la droite parallèle à la droite AB

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n: I/ Formes n Linéaires Alternées Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ;

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de « vecteurs » dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions, etc. Le problème est que, contrairement à R2 ou R3 , il est difficile de visualiser des vecteurs dans un espace de dimension infinie. . . quand ce sont des fonctions par exemple ! Avoir assimilé la théorie de la dimension finie serait une bonne idée avant d’attaquer ce chapitre.

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau

les caractéristiques des vecteurs : — (AB) (CD), c’est-à-dire que les vecteurs ont même direction ; — on va de A vers B comme de C vers D, c’est-à-dire que les vecteurs ont même sens ; — AB = CD, c’est-à-dire que les vecteurs ont même longueur ou norme. Remarque : −−→ −−→ 1. L’égalité AB = CD (égalité de longueur), ne suffit pas pour avoir AB = CD. Figure 4 – Longueurs égales mais vecteurs non égaux −−→ −→ Dans la figure 4, AB = AC mais AB = AC (les vecteurs n’ont pas même direction). Il est donc

........... de ............................ : on note ........ = ......... → tracer le vecteur AB → la direction du vecteur u est ................................ → le sens du vecteur u → est ........................................ la norme du vecteur u est ..................................... ................................................................................... → u A + ADDITION DE DEUX VECTEURS → → → soient u et → v deux vecteurs. → la somme de u et