Espace vectoriel normé

choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1 , u2 ) est une famille libre à deux éléments dans R2 , espace de dimension 2. C’est donc une base de E. En particulier, tout vecteur de R2 s’écrit comme combinaison linéaire de u1 et u2 . 2. On ne peut plus avoir de raisonnement abstrait car on travaille avec seulement deux vecteurs dans un espace de dimension 3. L’équation u = xu1 +yu2 équivaut successivement à    x+y = 2  x+y = 2   4x = 7 (L2 + L1 → L2 ) 3x − y = 5 ⇐⇒

Systèmes linéaires à 2 inconnues Emilien Suquet, suquet@automaths.com 0 Introduction Equation linéaire à deux inconnues 2x + y = 4 est une équation linéaire à deux inconnues x et y. La résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient l’équation 2x + y = 4. ( 2 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas l’équation : 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 4 ( 1 , 3 ) , ( -2 , 8 ) sont des couples solution : 2 × 1 + 3 = 7 et 2 × (-2) + 8 = 7 On dit que deux équations

base B1 en la base B2 , et f (x) = y. Soit A la matrice de f dans la base canonique de V , alors on a Ax = y et A ∈ GLn (R). I.A.2) Montrons que GLn (C) vérifie P6 , c’est-à-dire que les seuls sous-espaces de V stables par tous les éléments de GLn (C) sont {0V } et V . Soit donc W un sous-espace de V stable par GLn (C), non réduit à {0V }. Il existe x ∈ V non nul ; pour tout y ∈ V non nul, on vient de montrer qu’il existe A ∈ GLn (C) telle que Ax = y, d’où y ∈ W (car y = Ax ∈ A(W ) ⊂ W vu que

Rabat -Agdal Éléments d’algèbre et de géométrie Chapitre II : Espace vectoriel de dimension finie Professeure : Amale LAHLOU _________________________________________________ Semestre III / Session : Automne-Hiver 2011/2012 2 Professeure : Amale LAHLOU Sommaire MOTIVATION ......................................................................................................................... 3 1 STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL ...............................................................

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

extraite de (yn )n∈N qui converge dans E. Mais, quand E est de dimension finie, tous ses sous-espaces vectoriels sont ferm´s donc H est ferm´. Comme ∀p ∈ N, yϕ(p) ∈ H, e e on a z0 = lim yϕ(p) ∈ H. D’autre part, la suite x0 −yϕ(p) p∈N est extraite de la suite x0 −yn n∈N p→+∞ E3A, 2007, MP, Math´matiques A e 3/5 qui converge vers d(x0 , H) donc elle converge vers la mˆme limite. Enfin, par continuit´ de la norme, e e x0 − yϕ(p) − − − → x0 − z0 et donc, par unicit´ de la limite, x0 − z0 = d(x0 , H)

de cours est bas´ sur le poly de Tristan Tomala des ann´es e e pr´c´dentes. e e 3 4 Table des mati`res e 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de M − λIn b) On sait que sont indépendantes. La dimension du sous-espace propre Ker( f − λId ) vaut donc 1. b) Si c’est un endomorphisme cyclique diagonalisable, la somme des sous-espaces propres est E , les sousespaces sont de dimensions 1 , il y a donc n valeurs propres distinctes. Réciproquement tout endomorphisme ayant n valeurs propres distinctes est cyclique. 6°) a) C ( f ) est clairement un sous-espace vectoriel de L (E ) (stable par combinaisons linéaires et non C ( f ) est

Exercices Corrig´s e Premi`res notions sur les espaces vectoriels e Exercice 1 – On consid´re le sous-espace vectoriel F de R4 form´ des solutions du syst`me e e e suivant : x1 − x2 − x3 + 2x4 = 0 (E1 ) (∗) x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E2 ) . 1) En r´solvant ce syst`me suivant l’algorithme du cours, donner une base de F . Quelle est la e e dimension de F ? 2) Soit u = (−4, −1, 3, 3) et v = (−3, −3, 6, 3). Montrer que u et v appartiennent a F. Quelles ` sont les coordonn´es de u et v

Pascal Lainé ( Exercice 7. Soit l’application définie pour tout ( ) ( {( ) Soit ( ) et sa dimension. 1. Donner une base de 2. Donner une base (La plus simple possible) de ( ) 3. A-t-on ( ) ? 4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( ) 5. A-t-on ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit ( )). ( ) par : ) } ( ) et sa dimension. , en donner une base et sa dimension. un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( ) ( )