Exemples d'espaces vectoriels

Espaces vectoriels normés I ) Normes : 1°) Définition : Def : Soit E un K espace vectoriel , on appelle norme sur E toute application de E dans IR+ qui vérifie : N (x)  0  x  0 ( séparation ) x  E,   K : N  x   N x      x, y  E 2 , N x  y  N x  N y        Un espace vectoriel muni d’une norme est appeléespace vectoriel normé

vérifie P6 . I.A.3) Le groupe linéaire GLn (C) ne vérifie évidemment pas P1 (les éléments de GLn (C) sont les matrices de rang n et ici n 2) ; il vérifie P2 et P3 car I ∈ GLn (C). Il ne vérifie pas P4 , i.e. GLn (C) n’est pas un sous-espace vectoriel de E (car la matrice nulle 0E n’appartient pas à GLn (C)). Enfin il vérifie P5 : le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible. En résumé, GLn (C) vérifie P2 , P3 , P5 (et P6 ) et pas les autres propriétés de la liste. I

entre deux vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6. Complément : espace Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´l´ments p de A. e ee √ √ Par exemple, si A = {2, 5, 17}, alors ΠA = 2 · 5 · 17 = 170. Par convention Π∅ = 1. Il est clair que si A et B sont deux parties disjointes de P, alors ΠA ΠB = ΠA∪B . E A – Pour toute partie E de P, le symbole Par exemple, si E = {2, 5, 17}, S = E A d´signe une somme indic´e sur une partie quelconque A de E. e e λA ΠA est une somme de 23 termes, A parcourant P(E). Cette somme pourrait s’´crire, en notant par exemple λa,b,... plutˆt que λ{a,b,...} :

Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont

c) d(x, y) d(x, y) + d(y, z) (in´egalit´e triangulaire) Une telle fonction est appel´ee distance sur E. Exemple : Tout espace vectoriel norm´ e (E, − ) est un espace m´etrique (E, d) pour la distance d(x, y) = x − y . Toute partie A d’un espace m´etrique (E, dE ) est un espace m´etrique (A, dA ) pour la distance dA = dE |A×A . Rappel que α) β) γ) : Une norme sur un R- (resp. C-)espace vectoriel E est une fonction : E → R+ telle x =0⇔x=0 λx = | λ | · x pour λ ∈ R (resp. C) x+y x + y Les propri´et´es

e e les nombres complexes pour traiter certaines questions de g´om´trie plane. En particulier, les ´tudiants doivent e e e savoir interpr´ter ` l’aide des nombres complexes les notions suivantes de la g´om´trie euclidienne plane : calcul e a e e vectoriel, barycentre, alignement, orthogonalit´, distance, mesure d’angle. e a) Corps C des nombres complexes Corps C des nombres complexes. Parties r´elle et imaginaire e d’un nombre complexe, conjugaison dans C. Le plan ´tant muni d’un rep`re orthonormal

Boepple 2 , à savoir les apports de la Rythmique au niveau de la pratique musicale et donc nous nous attachons, par la suite, à un propos essentiellement destiné aux musiciens amateurs ou professionnels. Aussi absconse que puisse paraître la notion d’espace pour le musicien 3 , nous avons toujours à l’esprit cette anecdote banale où, une personne, demandant son chemin, questionne si l’endroit qu’elle cherche est loin d’où elle se trouve. Et la réponse : « C’est à cinq minutes. » Au lieu de fournir une

pseudo-isolé si la somme vectorielle des forces extérieures qui agissent sur lui est égale au vecteur nul. Le solide est isolé si aucune force ne s'exerce sur lui. 3) Référentiel, repère Un référentiel d'étude est un solide par rapport auquel on étudie le mouvement du système matériel. Dans un référentiel donné, on peut définir une infinité de repères d'espace. Ils sont constitués généralement de trois vecteurs unitaires orthogonaux et d'un point origine. Exemple de repère cartésien R

...................... 8 PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL ......................................................................................... 8 Détermination d’un vecteur............................................................................................................. 8 Produit scalaire et norme d’un vecteur........................................................................................... 9 Produit vectoriel......................................................