F

gf f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f

Exercice 6 Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 \ {(0, 0)} → R dénie par F (x, y) = Déterminer f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim F (x, y). Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne. a∈A Exercice 2 [ 01734 ] Continuité   1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue. Exercice

Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. 1 f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1]. a) Montrer que s’il existe x ∈ [0, 1] et k ∈ N tels que f k (x) = x alors x est un point fixe pour f . b) Montrer que f admet

fille! (le F est teinté en rose vif dans le tableau!) | | | |Mois de la conception. | Age de la maman au jour de la conception. |Jan |Fév |Mars |Avr |Mai |Juin |Juil |Aout |Sept |Oct |Nov |Dec | |18 |F |M |F |M |M |M |M |M |M |M |M |M | |19 |M |F |M |F |F |M |M |F |M |M |F |F | |20 |F |M |F |M |M |M |M |M |M |F |M |M | |21 |M |F |F |F |F |F |F |F |F |F |F |F | |22 |F |M |M |F |M |F |F |M |F |F |F |F | |23 |M |M

C 4 B* ' ' * " F C ( . F &'( B- >A&D E >?>@ 1 * 0 6 0 0 >AD; F F I 0 1 .7 % F F H F . . " % F 0 6 >A=& G ' 6 + F G * F F F . B* 0 4 0 ' F ' F + ' 6 - >AA> ' ( C H 0 0 6 ' " 0 F 0 4 0 (4 E F ' E F ' 4 0 F (4 0 F J )# F % 0 >= , " C F $ ' 4 " K ' " L + C ' 0 L , . 4 L 6 ' 4 K# 1 6 " L ' K F 6 N -'M 5 ' C ' BB ' @ 0 6 0 $ F ' K 0 *# 3 1 ! >AA< >AD< + 6 O F , 8 F 6$ F ' # 4 ' F >AA; + 0 '

D´finition 1. Soient f : I −→ e fonction R une fonction et a ∈ I. La fonction f x −→ est d´rivable en a si la e f (x) − f (a) x−a admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite est appel´e nombre d´riv´ de f en a et e e e est not´e f (a) : e f (x) − f (a) f (a) = lim . x→a x−a √ 1 1 , valeur absolue, x sin x et x2 sin x . Exemples. xn , la fonction inverse, Par un changement de variable, on peut ´galement ´crire que si f est d´rivable en a, alors e e e f (a) = lim – On note

2013 A Ce document a était généré par L TEX 2ε Préface ge support de ™ours est destiné —ux étudi—nts ingénieurs de l— deuxième —nnée en de l9 École Supérieure de Technologie et Informatique 1 F ve présent do™ument ™ontient le support de ™ours de l— m—tière  Algorithmique Avancée & Complexité F ve ™ours porteD d—ns s— première p—rtie sur des strutures de données —v—n™ées de type Arbres Bianires de Recherche, Arbres AVL ou eno™re Arbre rouges et noirsF v— deuxième p—rtie du ™ours porte sur l—

continues, dérivables ? a) f : x → x sin(1/x) 0 si x = 0 sinon b) g : x → x2 sin(1/x) si x = 0 . 0 sinon Qu’en déduire ? Dérivation d’application réciproque Exercice 9 [ 01367 ] [correction] Soit f : [0, π/2] → R définie par Exercice 4 [ 01359 ] [correction] Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable. On définit une fonction g : [0, 1] → R par : g(x) = f (2x) f (2x − 1) x 2 f (x) = √ sin x + x Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f −1 est continue et

numérique de la variable réelle toute fonction f de E vers F avec E et F sous-ensembles de R. L’ensemble des réels ayant une image est appelé ensemble de définition de f et est noté D ou Df . Remarques 1. Pour simplifier le langage dans la suite on dira f fonction numérique ou f fonction. 2. Une fonction f de E vers F dont l’ensemble de définition est E est une application de E vers F . 3. Souvent f est donné par une formule, l’ensemble de définition D de f est le plus grand sous-ensemble de R (au sens

DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f(x) = -x2 + 16 pour x ∈ [-4 ; 4]. 1°) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité 1cm. 2°) On admet que la courbe (C) schématise un dôme à l'échelle 1/100. Sur ce dôme se trouve un mât d'une hauteur de 1 mètre. Quelles sont les coordonnées du point A représentant l'extrémité de ce mât ? 3°) Le point H de coordonnées (a