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Commune. Pour toujours Le quartier gagnant gardera ce prix dans son musée. la course du palio est précédée d'un codfshjkfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff fffffffffffffffffffffffffffff fffffffffffffffffffffff ffffffffffff f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffrt ège nommé Passegiata historique à lequel participent, six cent figuranti qu'ils représentent les dix-sept quartiers. le cortège part de place de la Cathédrale dans

R L’ensemble des fonctions f : R −→ R est noté F (R, R). Nous le munissons d’une structure de R-espace vectoriel de la manière suivante. – Loi interne. Soient f et g deux éléments de F (R, R). La fonction f + g est définie par : ∀x ∈ R ( f + g)(x) = f (x) + g(x) (où le signe + désigne la loi interne de F (R, R) dans le membre de gauche et l’addition dans R dans le membre de droite). – Loi externe. Si λ est un nombre réel et f une fonction de F (R, R), la fonction λ · f est définie par l’image de

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au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé. Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée seconde de f qui vaut : f (x) = − 1 x2 ln(x) − 1 x2 ln2 (x) . Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2 Passer à l’exponentielle donne le résultat. Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique - L1/Math Sup

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a et a+h deux réels de I avec h ≠ 0 Le taux de variation de f entre a et a+h est le rapport : f(a+h) – f(a) = Δf h Δx Interprétation graphique Soient A ( a ; f(a) ) et B( a+h ; f(a+h) ) Le taux de variation de f entre a et a+h est le coefficient directeur de la droite (AB) Nombre dérivé d'une fonction en un point Définition : f est dérivable en

0 , f ( x 0 ), K , f ( x 0 ) ) est libre} est majoré par n et non vide. Il admet un plus grand élément m . La famille x0 , f ( x0 ), f ( x0 ), K , f ( 2 m−1 On a prouvé que : f ( x0 ) ∈ Vect (( x0 , f ( x0 ), K , f m est une combinaison linéaire de x0 , K , f m+k ( ( x0 ) est libre et la famille x0 , K , f m ( x0 ) est liée donc f m ( x0 ) m−1 ) ( x0 ) . ) ( ) m −1 m −1 Supposons que : f c’est à dire que f m ( x0 ) ∈ Vect x0 , f ( x0 ), K , f (

réels. Les résultats qui suivent concernent les opérations sur les limites en un réel ou à l’infini. lim f lim g lim  f + g  L L    L  L   L  L     lim f lim f L L     lim f lim g lim  f  g  L      L L  0 L  0    L  L      lim f L   lim f lim g L L  0   L L L  0 L  0   L0 0 f  lim   g L L   0 0  ( On applique la règle des signes). Remarque :  0    , , 0   et sont

gf ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f58 f5 8f 565f 56f f25 f5 f f f5 f 5 f5f 5 f 5f5 f 56 f56 65f +6f 56f 65f 84 4f8 f8 49f 848 4f 84f 54f 54f 54f 5f f5 f f 4 54f 54f 54f 5f 5f 5f 54f f 54 f54 f54 f84f 54f 4f 84 f f f4 f f f f 2nde SI

an = 0 pour n n0 et la suite {an0 an0 +1 ·· · ··an0 +n } converge, lorsque n tend vers +∞, vers une limite P0 non nulle. Le nombre P = a1 a2 · · · · · an0 −1 · P0 est appelée la valeur du produit infini. • Si A ⊂ X et si f est une fonction définie sur X, f|A est la restriction de f à A. Si (X, d) est un espace métrique, x ∈ X et A un sous-ensemble non vide de X, alors • Ac = X \ A est le complémentaire de A dans X, x Notations et terminologie • BX (x, r), BX (x, r) représentent respectivement la