F

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , et a un nombre de I . f a  h   f a  admet h une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est alors notée f ' a  , et appelée le nombre dérivé de f en a. On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre a et a  h : f a  h   f a  h f ' a   lim h0 Si f est dérivable en a , alors la courbe représentative de f admet une tangente T  au point d’abscisse a , de coefficient directeur f ' a 

TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f : I −→ R : f localement

premi`re ann´e, vous avez ´tudi´ I f , lorsque f est une application continue par e e e e morceaux a valeurs dans C, et lorsque I est un segment, c’est-`-dire un intervalle de la ` a 2 forme [a, b], o` (a, b) ∈ R avec a < b. u Dans ce chapitre, on prolonge la d´finition de I f , lorsque I est un intervalle quele conque. Par exemple, on pourra avoir I = [0, +∞[, I =]0, 1] ou I = R. Notation. Dans tout ce chapitre, I d´signe un intervalle inclus dans R de cardinal infini, e et f est une application continue

Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice 1. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = – x2 + 3 x – 2. 1 , f ( 2) et f 2 1 . 3 c) Déterminer le (ou les) nombre(s) dont l’image par f est – 2 (On dit le ou les antécédents de – 2 par f ). a) Calculer les images de 2, 0 et – 3 par la fonction f. b) Calculer f – Exercice 2. Une autre fonction définie par une formule. 5x–3 On considère la fonction g définie par g (x) = . x–6 a) Déterminer

Généralités Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f . f(x) 2 (antécédent de 4) 4 (image de 2) On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais ce n’est pas le seul : on a aussi f (−2) = (−2)2 = 4

définie sur un intervalle f(x) = x²- 6x +1 Calculer la dérivée (VOIR TABLEAU) f’(x)= 2x – 6 Chercher la valeur de x 2x – 6 = O 2x = 6 x = 6 : 2 = 3. (On applique la règle «  signe de a = 2 après le o », donc + après le 0. CHERCHER LA VALEUR DE X QUI ANNULE LA DERIVEE (CHERCHER LE SIGNE DE a.) ( Dresser le tableau de variation Tracer les flèches. positionner f(x) et f’(x) x 3 + F’(x)

suffit d’appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à f sur [0, x]: n−1 f (x) = k=0 f (k) (0) xk + k! x 0 (x − t)n−1 (n) f (t) dt (n − 1)! ou alors on affectue des IPPs successives. I.1.1 Si f est solution alors f ′ (x)−f (x) = g ′ (x) et f (0) = g (0) (faire x = 0). Réciproquement, x si f ′ (x) − f (x) = g′ (x) alors intégrant sur [0, x] il vient f (x) − f (0) − 0 f = g (x) − g (0) et si f (0) = g (0) on a bien f solution de (S) . ′ I.1.2 L’équation différentielle y ′ − y

Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES I - NOMBRE DERIVE f est une fonction définie sur un intervalle I. a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I. A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. f ( x) − f (a) Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m = , c’est le x−a taux de variation de la fonction entre a et x. M A M O A A a h x O a h x=a+h O h Lorsque M devient de plus en

génér—tions F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFI gy™le I F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFP gy™le P F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFQ gy™le Q F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFR gy™le R F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFP „ermes de ˜iologie végét—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFI ves th—llophytes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFP ves ™ormophytes F F F F F F F F F F

acquis a) f(2) = 3 × 2 + 5 = 11 g(– 3) = (– 3)2 – 3 × (– 3) + 5 = 23 b) On cherche x tel que f(x) = 1 donc tel que 3x + 5 = 1. 4 Donc 3x = – 4 et x = – . 3 a) Faux b) Vrai c) Faux Une fonction affine est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax + b avec a et b dans ‫.ޒ‬ Une fonction linéaire est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax. Donc f est affine, g est linéaire, h est affine et ᐉ est affine car ᐉ(x) = x2 + 10x + 25 – x2 – 4x – 4 = 6x + 21. a) f(5) – f(1) = 2 × 5 – 3 – (2 × 1 – 3) f(5) – f(1) = 10