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Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles 2.1 Généralités Définition 2.1.1. Une fonction réelle f est une application d’une partie D de R dans R. La partie D est appelée ensemble (ou domaine) de définition de la fonction. Une fonction peut être définie de plusieurs façons : – Par une formule explicite : f(x) = √ x2 − 3 cos x – Abstraitement : π(x) est le nombre de nombres premiers compris entre 0 et x. 2.2 Limite d’une fonction en un point Soit D une partie de R, et soit x0 ∈ R. On

f f fff fff ffffff f f f f ff f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f ff f f ff f f f f f f f ff f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f ff f ff f f ff f f f f f f f f

Histoire... IFI ves h™ouvertes w—jeures de l— €hysique xu™l—ire F F F F F F F e e IFIFI h™ouverte de l— ‚—dio—™tivit F F F F F F F F F F F F F F F e e IFIFP h™ouverte de l— x—ture des ‚—yonnements ‚—dio—™tifs F e IFIFQ ixprien™e de fom˜—rdements etomiques F F F F F F F F e IFP ve €rojet w—nh—tt—n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R S T U IH IQ IR IS IS IT IT IV IV IW IW PI PI PQ PR PS PS PS PU

Définition : Une fonction f , définie sur IR est causale si : Pour tout t < 0 , f(t) = 0. 1. Echelon unité Définition : L’échelon unité U est la fonction définie sur IR par : U(t) = 0 si t < 0 U(t) = 1 si t ≥ 0 Remarque : U est constante par morceaux. Elle est discontinue en 0. 2. Utilisation de l’échelon unité Définition : Pour transformer une fonction g définie sur IR en une fonction causale f prenant les mêmes valeurs sur [0 ; +∞[ , on la multiplie par l’échelon unité : f(t) = U(t)g(t) pour tout

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efinition 1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et soit a ∈ I. On dit que f est f (x) − f (a) d´erivable en a si la fonction x 7→ admet une limite finie ` lorsque x tend vers a. x−a D´ efinition 2 Si f est d´erivable en a on appelle nombre d´eriv´e de f en a et on note f 0 (a) le nombre f 0 (a) = lim x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim h→0 x−a h Remarque 1 f est d´erivable en a de nombre d´eriv´e f 0 (a) si et seulement si f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) + hε

tant que (....) nous sommes asservis à l'impulsion du désir, aux espérances et aux craintes continuelles qu'il fait naitre, (...) il n'y a pas pour nous ni bonheur durable, ni repos." ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f fk k kk k k k k k k k kk k k k k k kk k kk k k k k k kk k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k

----------------------------- = 2 ( g ⁄ m 3 ) . 2003 – 2000 de coefficient directeur d’une droite. b) y = 2 ( x – 2000 ) + 45 y = 2x – 3 955. 1 -x Revoir les formules de dérivée de fonctions Pour tout réel x : f ' ( x ) = 6x 2 – --- + 3 . 2 n. x ax 1 Revoir la formule de dérivée d’un quotient Pour tout réel x ≠ --- : 2 u –1 --- . f ' ( x ) = ---------------------- . v ( 2x – 1 )2 3 4 2 Objectifs • Revoir le sens de variation et la courbe représentative de fonctions du type ku, u + k , u + v . • Revoir la notion de

relation qui associe à tout élément x de I, un nombre réel f(x) au plus. f:I  x  f(x) x est la variable et f(x) est l’image de x. On note y = f(x). L’ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. 2) Représentation graphique Dans un plan muni d’un repère, la représentation graphique C d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). y = f(x) est une équation cartésienne de C. f(x) 0 3) Sens de variation d’une fonction x Si pour

fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. 1) Qu’est-ce que le nombre dérivé de f au point a ? Définition Le nombre dérivée de la fonction f au point a est par définition la pente de la tangente, si elle existe, à la courbe représentative de f au point d’abscisse a. Il se note f’(a). Exemple On considère la fonction f suivante, dont la représentation graphique est donnée ci-après : La fonction f est définie sur ....................... f’(–8) = f’(–4;5)