Factorielle

n http://laurentb.garcin.free.fr 5 si q = 1 si q = 1 . © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Exercice 2.1 n k2k . Calculer k=1 2.3 2.3.1 Sommes binomiales Coefficients binomiaux Définition 2.1 Factorielle n ∗ Pour n ∈ N , on note n! le produit des entiers de 1 à n i.e. n! = k. On convient que 0! = 1. k=1 Définition 2.2 Coefficient binomial Soit n ∈ N et k ∈ 0, n . ❶ ➀ n k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) n! = k! (n − k)!k

Chap. V – Analyses Factorielles 1 Chapitre V ANALYSES FACTORIELLES _____ Définition et propriétés des analyses factorielles : On est en présence d'un tableau de données réelles sous forme de matrice X (n,p) de n lignes et p colonnes. Les n lignes de X représentent un nuage de n points dans un Espace Vectoriel Rp de dimension p. (respectivement, les p colonnes représentent p points dans l'E.V. Rn ) Une représentation graphique de ces points dans cet espace est bien entendu impossible

thDÉNOMBREMENT - COMBINATOIRE - LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES Dans tout ce qui suit, nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Quelques grands principes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 C II A B III A B IV A B V I A B C II A B III A B IV A B C D VI I II A B C D III A B IV A B C D E Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Permutations, p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Permutations d’un ensemble . . . . . . . . .

(10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... Rappel : Si n ∈ N , on appelle factorielle n, notée n! , le produit des n premiers entiers : * 1 × 2 × 3 × ..... × p × ( p + 1) × ... × (n − 1) × n = n! 0! =1 par convention car 0! n’est en principe pas définie. Dès que n dépasse la dizaine, n! se compte en millions. Il est bon de

A, B et C : combien y a-t-il de rangements possibles de ces 3 produits par ordre de préférence ? On peut le vérifer en les listant tous : (A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A) (C,A,B) (C,B,A) 2- Permutation: cas général On appelle factorielle, notée n!, la fonction qui à tout entier naturel n associe l'entier : n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ...3 × 2 × 1, C'est aussi le nombre de permutations. Interprétation: Cette fonction dénombre l'ensemble des rangements ordonnés possibles dans un

elles sont notées entre deux parenthèses. Dénombrement Le nombre de permutations de E est le nombre de n-arrangements de E, il est donc égal à : n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (n − n + 1) = n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (1). Factorielle Définition : n! est l’entier naturel défini par : 0! = 1 et (n + 1)! = (n!) × (n + 1) pour tout entier naturel n. Par exemple : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120… On démontre par récurrence que n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... ×

Prof : Baklouti Hédi Cours : « Dénombrement » Avril 12 I / 1/Notation factorielle  Définition  Soit[pic], on note par n ! et on lit factorielle n l’entier strictement positif . [pic]. Ex : [pic] ;[pic] ; [pic]  etc… On convient de noter[pic]. [pic], [pic] [pic] [pic] [pic]. 2/Notation [pic] : Définition  Soit [pic] et [pic] ; 1[pic], on pose par définition :

Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe Sn 2 Cycles 2.1 2.2 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d'une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 5 3 Classes de conjugaison 4 Signature 5 Groupe alterné 5.1 5.2 8 9 10 Groupe An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Simplicité

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.