Family Sphere

(3+2-1) MG = 4 MG b) Comme H barycentre de { ( A,1) , ( B,3) } alors MA + 3MB = (1+3) MH = 4 MH . 2/ Comme 3MA + 2 MB − MC = 4 MG (d’après 1/a)) alors 3MA + 2 MB − MC = 4 MG = 4 MG ( Γ ) est l’ensemble des points M de l’espace tels que : Il s’agit de la sphère de centre G et de rayon 3 10 MG = 6 10 3 10 . = 4 2 2 4MG=4MH c'est-à-dire MG=MH. 3/ Comme MA + 3MB = 4 MH (d’après 1/b)) alors MA + 3MB = 4 MH = 4 MH (P) est l’ensemble des points M de l’espace tels que : Il s’agit du plan médiateur

= −1. L’équation du plan médiateur est y = −1. 2 + 32 + (−4 − 2)2 = 4 + 9 + 36 = 49 ; donc AB = 7. Le rayon de la spère est donc 7 . 2 Distance de I centre de la sphère au plan (P) : 1 3 I − ; − ; −1 . 3 2 −3 +1 1 On a d(I ; (P )) = 2 2 = . 2 1 1 7 Comme < on en déduit que l’intersection (le cercle (C)) de la sphère 2 2 et du plan (P) n’est pas vide. 4. Si la droite (ID) est sécante au cercle (C) il existe au moins un point dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient l’équation de (ID)

qu'une multitude de petites sphères presque parfaites. Elle tombe ainsi sans se déformer. Lorsqu'elle rencontre une feuille, elle ne la mouille pas mais rebondit et tend à retrouver une forme sphérique jusqu'à ce qu'elle touche le sol. Si on regarde plus en détail, lorsque la goutte arrive sur une surface, elle possède une certaine vitesse, donc une certaine énergie. Elle commence par s'étaler, mais comme cette configuration ne lui convient pas, elle va reformer une sphère, et utiliser l'énergie de

étudie la chute d’une goutte d’eau à l’aide d’une webcam, nous pouvons ainsi nous rendre compte qu’une goutte est parfaitement ronde. La goutte d’eau va maintenir cette forme de sphère jusqu’à ce qu’un choc ne vienne la déformer. Sa forme sera alors au début totalement aléatoire mais tendra progressivement à redevenir une sphère quasi parfaite. b) La taille La taille d’une goutte est régie par de nombreux phénomènes physiques, qui entraînent que le diamètre d’une goutte ne pourra jamais dépasser

Euclide Euclide Euclide (d'après une peinture du XVIIIe siècle) Naissance -325 (Grèce ou Afrique) Décès -265 Alexandrie (Égypte) Champs Mathématiques Célèbre pour Éléments d'Euclide Euclide, (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement vécu en Afrique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme l'un des textes fondateurs des mathématiques modernes. Biographie

Cependant, une seule projection orthogonale n’est pas suffisante pour caractériser entièrement un objet dans l’espace, car dans ce passage des 3 aux 2 dimensions, de l’information est nécessairement perdue : Est-ce la projection d’un cylindre, d’une sphère ? Est-ce la projection d’un cylindre, d’un parallélépipède ? Afin d’éviter cette perte d’information, la géométrie descriptive a recours à deux projections orthogonales distinctes mais coïncidentes. 1.1.2 Les deux plans de projections : Afin de

. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Formalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fibration sphérique rationnelle . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Rationalisation de fibrés en sphères . . . . . . . 4 Fibrés vectoriels sur une variété 4.1 Généralisation des nombres de Pontryagin . . . . 4.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Lien avec le cobordisme . . . . . .

− 4y = 0 ⇐⇒ x − 2y = 0 qui est l’équation d’un plan. Or les coordonnées (1 ; 2 ; 0) du point I ne vérifient pas cette équation. Proposition 2 : Vrai −→ −→ − − −→ −→ − − MB + MC = MB − MC ⇐⇒ −→ − −→ − 2MI = CB ⇐⇒ IM = 1 BC ⇐⇒ M 2 appartient à la sphère de centre I et de diamètre [BC]. Proposition 3 : Faux En prenant comme base de ce tétraèdre le triangle rectangle OBC, [OA] est une 1 1 8 1 hauteur. Le volume est donc V = A (OBC) × OA = × × 4 × 2 × 2 = . 3 3 2 3 Proposition 4 : Vrai Les coordonnées

Exercice 3A.1 - Marseille 2000 Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10 cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan vaut 6 cm. La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. Cette figure représente la sphère et le cercle (C). Le point A est un point du cercle (C). 1. En utilisant uniquement les données de l’énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle OHA, rectangle en H. On laissera les traits de construction apparents. 2. Calculer

10/71 et 3 1/7. Il obtient ces résultats en inscrivant et en circonscrivant à un cercle des polygones réguliers de 96 côtés. D’où il prouva que le volume de la sphère valait les 2/3 du volume du cylindre circonscrit. Il jugeait ce résultat comme le plus significatif et demanda qu'on grave une représentation d'un cylindre circonscrit à une sphère sur sa tombe. En physique, il étudie la statique, la mécanique, l'hydrostatique et l'optique. Il s'intéresse par exemple aux centres de gravité définis dans