Fonction convexe

. . . 1.5 Loi conjointe d’un n-uplet de variables aléatoires indépendantes 2 Lois sur R et lois sur Rn 2.1 Variables aléatoires réelles . . . . . 2.1.1 Fonction de répartition . . . 2.1.2 Lois discrètes . . . . . . . . 2.1.3 Lois continues . . . . . . . . 2.1.4 Changement de variables . . 2.2 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . 2.2.1 Fonction de répartition . . . 2.2.2 Densité de probabilité . . . 2.2.3 Loi conditionnelle et densité 2.2.4 Changement de variables . . 3 7 8 8 8 13 18 19 19 20 21

minimisation d’un coˆt. u Ioan Todinca • Comment aller le plus vite d’Orl´ans ` Berlin, en voiture? e a Ioan.Todinca@univ-orleans.fr t´l. 02 38 41 72 93 e bureau : en bas ` gauche a • Comment ordonnancer les tˆches d’un projet en fonction de la a main d’œuvre, tout en minimisant sa dur´e? e • Comment investir ses 1000 euros d’´conomie de sorte ` e a maximiser le profit obtenu apr`s deux ans? e 1/56 Introduction M´thode graphique e Simplexe Dualit´ e

maximiser ses profits sous sa contrainte de coûts Il faut donc comprendre:  Comment le producteur prend ses décisions: quels facteurs de production employer et en quelles quantités afin de minimiser les coûts?  Comment les coûts varient en fonction de la production? 3 Comment allons-nous procéder? 1. 2. 3. 4. Présenter la production, identifier les phénomènes qui l’affectent à court et à long terme, et en déduire ses principales caractéristiques. Présenter les coûts, la manière

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonctions usuelles 3.1 Th´or`mes d’analyse admis . . . . . . . . . . e e 3.2 Calcul pratique de d´riv´es . . . . . . . . . . e e D´riv´e d’une homographie . . . . . . e e D´riv´e d’un quotient . . . . . . . . . e e D´riv´e logarithmique . . . . . . . . . e e Exponentielle en facteur . . . . . . . . R`gle de la chaˆ e ıne . . . . . . . . . . . 3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Exponentielles,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonctions usuelles 3.1 Th´or`mes d’analyse admis . . . . . . . . . . e e 3.2 Calcul pratique de d´riv´es . . . . . . . . . . e e D´riv´e d’une homographie . . . . . . e e D´riv´e d’un quotient . . . . . . . . . e e D´riv´e logarithmique . . . . . . . . . e e Exponentielle en facteur . . . . . . . . R`gle de la chaˆ e ıne . . . . . . . . . . . 3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Exponentielles,

mathématiquement par des fonctions. Plus précisement, on cherche à comprendre dans quelle mesure un changement de valeur d’une variable affecte-t-elle l’autre variable ? ⇒ L’effet d’une telle variation s’obtient grâce à la dérivée de la fonction. En réalité une variable dépend souvent de plusieurs variables. ⇒ On parlera alors de fonctions à plusieurs variables et de dérivées partielles. Microéconomie (L2) Chap 0 2 / 38 Plan 1 Variables et fonctions 2 Représentation graphique

Introduction L’étude des décisions de production constitue le second pilier de l’analyse microéconomique Il s’agit d’étudier certaines décisions, prises par les entreprises relatives au choix de la technique de production et de la quantité à produire en fonction des conditions du marché Pour ce faire, la microéconomie s’intéresse à un deuxième agent « le producteur » (ou entreprise) dont les décisions sont supposées rationnelles compte tenu des contraintes auxquelles il est soumis Quel(s) objectif(s) poursuit

montrer que : t X AX λ k = max min t (théorème de Courant et Fischer). F ∈Ψk X ∈F −{0} X X 19. Soit X un vecteur de Mn,1 ( ! ) de coordonnées ( x1 , x 2 , ..., x n ) dans la base orthonormée (C1 , C 2 , ..., C n ) de Mn ,1 ( ! ) . Calculer en fonction des xi et λ i (i compris entre 1 et n) : t t X A X et t X X et pour k entier entre 1 et n, Ck A Ck . t Ck Ck 20. Soit k entier entre 1 et n, on pose Fk = vect{ C1 , C 2 , ..., C k }. t Montrer que pour tout X non nul de Fk , t X

+∞ Calculs de ζ(2) = n=1 +∞ 1 n2 +∞ 1) 1er calcul de un exemple. n=1 1 . De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2 n=1 1 . En voici n2 a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3 y = 2 1 f( x) −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 1 2 3 4 5 6 f est 2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout

Fonctions logiques élémentaires II.1 Systèmes binaires et algèbre de Boole Actuellement, alors que les ordinateurs analogiques sont encore du domaine de la recherche, les informations traitées par les systèmes informatiques sont codées sous forme binaire. Un système binaire (signal, circuit, etc…) est un système qui ne peut exister que dans deux états autorisés. Le circuit de la figure 1 est un exemple plus que simpliste de circuit binaire : selon que l'interrupteur S est ouvert ou fermé la tension