Fonction convexe

II. Fonctions cyclométriques. 1. Introduction f Etant donné une fonction f : A  R x  f(x), connaissant f(x), peut-on retrouver x ? C'est la fonction réciproque qui nous le permettra. x f(x) f  f Pour que la réciproque d'une fonction soit une fonction, il faut que la fonction initiale soit injective (c'est à dire qu'un réel ne peut être image de plusieurs points). En effet, si ce n'était pas le cas, un point aurait plusieurs images par la fonction réciproque comme le montre le schéma ci-contre

. . . . . . . . . . 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . .

Les fonctions – fonctions de références I Les fonctions ; quelques notions On peut dire qu’une fonction est une façon de relier un nombre réel x a un autre nombre réel y [qu’on écrit f (x ) ] exemples Définition Antécédent/ Image Ecrire que b =f (a) signifie que • b est l’image de a par la fonction f. • a est un antécédent de b par la fonction f. Variation La fonction f est croissante sur l’intervalle [a ; b ] lorsque pour tous les réels x1 et x 2 de l’intervalle [a ; b ] tels que x1

Exercice 1 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2x-3 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations

biens 13 2 Production de la firme 2.1 Facteurs de Production et la représentation de la technologie . . . . 2.2 La fonction de production : la firme en tant que boîte noire . . . . . 2.3 Rendements d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Isoquantes et le taux marginal de substitution technique . . . . . . 2.5 Deux exemples : fonction de Cobb-Douglas et fonction de Leontief . . . . . 15 16 16 25 28 36 3 Firme concurrentielle et la combinaison optimale des facteurs 3.1 Choix

a e Charles SUQUET DEUG MIAS 2 et MASS 2 2002–2003 Table des mati`res e 1 Espaces Probabilis´s e 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ e 1.2 Ev´nements . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La probabilit´ comme fonction d’ensembles e 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Remarques sur le choix d’un mod`le . . . . e 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Conditionnement et ind´pendance e 2.1 Probabilit´s conditionnelles . .

a e Charles SUQUET DEUG MIAS 2 et MASS 2 2002–2003 Table des mati`res e 1 Espaces Probabilis´s e 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ e 1.2 Ev´nements . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La probabilit´ comme fonction d’ensembles e 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Remarques sur le choix d’un mod`le . . . . e 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Conditionnement et ind´pendance e 2.1 Probabilit´s conditionnelles . .

Exercices sur la dérivee I) Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle [– 1 ; 2,5] par f (x) = 2x² – 3x + 4. 1. Déterminer f ’(x), dérivée de f. 2. Etudier le signe de f ’(x). 3. donner le tableau de variation de f. 4. compléter le tableau de valeurs suivants : |X |-1 |0 |1 |1,5 |2 |2,5 | |F(x) |9 |4 |3

réel est à remplacer par : (4n + 1) r nr ;  . 2 2 Le point C appartient au segment [AB]. AF = 3 AB – 2 BC . 2 3 © Hachette livre, 2011 2 Repères 1re, Livre du professeur  Sommaire Erratum 2 Chapitre 1 Les fonctions de référence 4 Chapitre 2 Dérivation 12 Chapitre 3 Les suites 28 Chapitre 4 Statistiques 37 Chapitre 5 Probabilités 44 Chapitre 6 Modélisation et échantillonnage 56 Chapitre 7 Trigonométrie 62

biens 2 Production de la firme 2.1 Facteurs de Production et la représentation de la technologie . . . . 2.2 La fonction de production : la firme en tant que boîte noire . . . . . 2.3 Rendements d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Isoquantes et le taux marginal de substitution technique . . . . . . 2.5 Deux exemples : fonction de Cobb-Douglas et fonction de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . 13 15 16 16 25 28 36 41 42 52 59 59 60 60 61 62 66 67 71 77 77 77 78