Fonction exponentielle

La fonction exponentielle 1. Problème : Recherchons les fonctions f dérivables sur R, non nulles, et telles que pour tous x et y réels, on ait : f(x+y) = f(x) x f(y) [RF = Relation fonctionnelle] *Valeur de f(0) Posons x = 0. Alors [RF] => f(0+x) = f(0) x f(y) f(x) = f(y), d'où f(0) = 1 *Dérivée de f Soit un réel x fixé. Posons F1(y) = f(x+y) et F2(y) = f(x) x f(y) On a : F'1(y) = f' (x+y) x 1 et F'2(y) = f'(x) x f'(y) On doit donc avoir, pour

Exercices sur la fonction exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous la forme d’une puissance de e les expressions suivantes : 4 e7 -3 (e-1) a) 2 b) c) (exp(e2)) e e d) e2exp(-3) e) e-3 × exp(2) f) exp(1) × exp(-2) Exercice 2 : Ecrire plus simplement chacun des nombres suivants : 2 a) ln exp -  b) exp(ln(3) – 1) c) e5 ln 3 – 3eln 7   3     e2 ln 3 e3 d) ln 8 e) 4 + ln 3 e e Exercice 3 : Résoudre dans ! les équations suivantes : a) exp(2x – 3) = 1 b) ex = 2 c) e-2x = -2 d) exp(3x + 1) = e1–

EXERCICES DE MATHEMATIQUES (Extraits des épreuves terminales du Bac Pro) FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE Exercice 1 : France Métropolitaine – 1998 (6 points) Un technicien a relevé les différents chiffres d'affaire d'agriculteurs en fonction de leur production annuelle : |x : production en tonnes |7 |11 |19 |30 | |y : chiffre d'affaire en milliers de francs |2,33

problème, n désigne un entier naturel non nul. Il est possible de traiter les deux parties du problème de façon indépendante. PREMIÈRE PARTIE cos(nx) . n2 1 - On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par : +∞ pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2 b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx

ROC On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y′ = ay où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g(x) = Keax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y = ay + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. ′ b 1) Démontrer que la fonction f0 définie sur R par f0 (x) = − est une solution de (E). a 2) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence suivante : f est solution de (E) ⇔ f − f0 est solution de

chapitre 5 : fonction exponentielle 15 février 2022 Contrôle de mathématiques Jeudi 17 février 2022 Exercice 1 Propriétés algébriques (5 points) 1) Simplifier les expressions suivantes : a) A = e6 × e−4 e−3 b) B = e1+x ex+2 c) C = (e−2x)3e4x e−2x 2) Montrer les égalités suivant pour tout x ∈ R : a) 2e2x + 6ex − 8 = 2(ex − 1)(ex + 4) b) (ex − 1)(ex + 1) e2x = 1 − e−2x Exercice 2 Résolution d’équations et d’inéquations (4 points) 1) Résoudre les équations suivantes dans R en se justifiant rigoureusement

Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3,18 3,51 3,78 4 4,18 4,45 4

Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . 1.3 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . .

d’attente. e e On suppose que les Yi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi exponentielle de e e param`tre a. On rappelle que sisi Y ∼ E(a) alors sa densit´ vaut : fY (x) = ae−ax si x > 0, 0 sinon. e e 2. On note y1 , . . . , yn les temps d’attente mesur´s en heures. Montrer que la log-vraisemblance e des observations vaut : n ￿ ￿(y1 , . . . , yn ; a) = n ln(a) − a yi i=1 1. Cours : Donner la fonction de r´partition de Y , son esp´rance et sa variance (sans d´monstration). e e e 3

Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici une présentation naïve. Exemple introductif : si beaucoup de grandeurs, tels les poids, les bénéfices, les durées, s’ajoutent, d’autres valeurs, tels les indices, se multiplient ; supposons ainsi une population animale qui s'accroît de 3 % chaque année, si elle part de la taille P 0, elle vaudra les