Fonction exponentielle

θn ) D(α1 , α2 , ..., αn ) D(α1 + x1 , α2 + x2 , ..., αn + xn ) Une loi conjuguée peut être déterminée en considérant la forme de la vraisemblance f (x|θ) et en prenant une loi a priori de la même forme que cette dernière vue comme une fonction du paramètre. Les lois a priori conjuguées obtenues par ce procédé sont dites naturelles. Exemples : 11 M1 ISD Statistique Bayésienne • Considérons une loi Pareto de paramètres (α, a). f (x|θ, a) = θaθ 1 (x). xθ+1 [a,+∞[

statistique . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Variables alï¿ 1 atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1.2.1 Gï¿ 2 nï¿ 1 ralitï¿ 1 s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1.2.2 Loi de probabilitï¿ 1 d’une variable alï¿ 1 atoire . 2 2 1 1.2.3 Fonctions de rï¿ 2 partitions . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Variables alï¿ 1 atoires discrï¿ 1 tes . . . . . . . . 2 2 1.2.5 Variables alï¿ 1 atoires continues . . . . . . . . . 2 1 1.3 Convergences de suites de variables alï¿ 2 atoires . . . . 1.3.1 Convergence

service s : nombre de stations N : capacité du système Pour spécifier A et B les symboles suivants sont utilisés : M : loi de poisson pour A et loi exponentielle pour B, G : loi générale, E : loi d’Erlang d’ordre k D : cas déterministe Exemple : M/M/1/3 désigne une file d’attente dans laquelle les arrivées suivent une loi de Poisson, le service est exponentiel, avec une seule station de service et de capacité 3. INSEA_ Cycle des ingénieurs d'Etat Pr. K. Rahhali Page 3 sur 12 Files d’attente II-

0) \-l 0 0 0) identitéde E. par vectoriel engendré (1,J, K, L) et.Id I'endomorphisme On note E le lR-espace tr: J + K. On pose 1) Montrer que (1,J, K, L) est une basede.E et donnerla dimensionde E. de 2) a) Exprimer J K, KL et LJ en fonction respectivement L, J et K. -L, LK : -J etJL : -K' b) CaiculerJt, K2 et Z2 puis en déduireque : KJ: c) En déduireque E est stablepour le produit matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application

Détails des modèles calculatoires appliqués aux retours d’expériences : • Loi exponentielle : Elle correspond à une variable aléatoire X représentant la durée de vie d’un phénomène nous permettant ici de modéliser la durée de vie d’un composant électronique. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre lambda : • Loi de Weibull : Utilisée dans l’analyse de durée de vie, elle utile dans la compréhension du taux de panne et nous donne la possibilité de savoir si ce taux est constant

variations (accroissement ou diminution) en nombre sur une courte ou longue période. 1.1.3.2.Croissance des populations Théorie sur la croissance exponentielle Thomas Malthus (1766-1834) énonça que théoriquement toute espèce a une capacité de croissance pouvant excéder une valeur moyenne observée. Cette capacité de croissance est dite croissance exponentielle ou géométrique ou Malthusienne (figure 4). Figure 4 : Courbe de croissance malthusienne avec N t le nombre d’individus dans la population

solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. c. En déduire l'expression de vn puis celle de un en fonction de n . 1.3. On donne ABC triangle

1. Calculer dans un premier temps le nombre moyen de clients dans une file M/M/1 pour ρ = 0.5, ρ = 0.9 et ρ = 0.99. 2. En utilisant le module simulation du logiciel QtsPlus, tracer sur excel le nombre de clients moyen Q(n) obtenu par simulation en fonction du nombre d’it´rations n (par exemple pour e n = 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, · · · ) et cela pour diff´rentes charges ρ du syst`me (par e e exemple ρ = 0.5, 0.9, 0.99). Commenter ces graphiques. 3. De mani`re g´n´rale, comparer les avantages

probabilité non nulle. Notation ( ). Indépendance de deux événements. Notions de lois à densité. Loi à densité sur un intervalle. Loi Uniforme sur [ ; ]. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Lois Exponentielles. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Loi Normale centrée réduite, Théorème de Moivre-Laplace (admis). Loi Normale ( , ). CAPACITES ATTENDUES • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. • Exploiter la lecture d’un arbre pondéré

variable aléatoire soit dans n'importe quel sous ensemble (mesurable) de cet ensemble. La Loi normale, souvent appelée la "courbe en cloche" Quand la variable aléatoire prend ses valeurs dans la loi de probabilité est complètement décrite par sa fonction de répartition, dont la valeur en chaque réel x est la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à x. Le concept de loi de probabilité (et le concept de variable aléatoire) sont les fondements des disciplines mathématiques appelées