Formule du binôme de Newton

[ 00196 ] [correction] un−1 u0 u1 u2 un On dit qu’une suite d’applications linéaires {0} → E1 → E2 → · · · → En → {0} est exacte si on a Imuk = ker uk+1 pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1}. Montrer que si tous les Ek sont de dimension finie, on a la formule dite d’Euler-Poincaré : n (−1)k dim Ek = 0. k=1 Exercice 39 [ 00191 ] [correction] Soit f et g deux endomorphismes de E. Montrer que : a) rg(f ◦ g) min(rg f, rg g). b) rg(f ◦ g) rg f + rg g − dim E. Exercice 40 [ 02467 ] [correction] Soient

Lionel Porcheron Le formulaire mpsi, mp 1 500 formules de mathématiques, physique et chimie 4e édition LE FORMULAIRE MPSI, MP LE FORMULAIRE MPSI, MP 1 500 formules de mathématiques, physique et chimie Lionel Porcheron Ingénieur de l’ENSEEIHT à Toulouse 4e édition © Dunod, Paris, 2000, 2003, 2004, 2008 ISBN 978-2-10-053787-7 Table des matières Avant-propos c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 1 : Mathématiques IX 1 1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Devoirs à la maison – Tronc commun 136 1 Formules trigonométriques 137 1.1 Formules courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.2 Formules de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2 Relativité très restreinte 138 2.1 Cône de lumière de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Les coefficients du binôme sont notés np . Un arrangement de n objets pris p à p est noté Apn . Si A est un ensemble fini, on notera |A| ou card A le nombre d’éléments de A. Si a et b sont des entiers tels que a ≤ b, on désigne par [[ a, b ]] l’ensemble [ a, b ] ∩ Z. Le symbole ⊥ ⊥ indique l’indépendance d’événements ou de variables aléatoires. On désigne par AC le complémentaire de A ou l’événement contraire de A. On

. . . . . . . . . 6.2. Sous-algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Algèbres usuelles . . . . . . . . . . . . . 7. Nombres Réels 7.1. Inégalités, Bornes . . . . . . . . . . . . . 7.2. Partie entières . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Formule du Binôme . . . . . . . . . . . . 8. Nombres Complexes 8.1. Nombres Complexes . . . . . . 8.2. Inégalité triangulaire . . . . . . 8.3. Groupe des unités . . . . . . . . 8.4. Racines d’un nombre complexe 8.5. Géométrie du plan complexe . . . . . .

en observant les différences introduites par la lenteur des eaux, par l'ouverture de l'arche, par les variations atmosphériques des saisons ! Et il n'est entré dans la tête d'aucun savant de rechercher, de mesurer, de peser, d'analyser, de formuler, le binome aidant, quelle quantité fluide l'homme, par une marche plus ou moins rapide, pouvait perdre ou économiser de force, de vie, d'action, de je ne sais quoi que nous dépensons en haine, en amour, en conversation et en digression ! ... hélas ! Une

la suite (un)n∈N∗ définie par un = n n converge vers 1. On remarque d’abord que la suite est minorée par 1. Soit ε > 0 un nombre réel strictement 1 positif. Montrons que n n < 1 + ε pour n assez grand, ce qui équivaut à n < (1 + ε)n. La formule du binôme de Newton montre que (1 + ε)n = 1 + nε + n(n − 1)ε2/2 + · · · + εn. Comme tous les termes du second membre sont positifs, pour avoir n < (1 + ε)n, il suffit que n soit strictement inférieur à n(n − 1)ε2/2. Ceci a lieu si n est strictement plus grand

bonchan ; p. 143 : en train de manger © Andresr, en train de cuire © Paul Prescott, dans les assiettes © Luiz Rocha, en train d’être enfournées © Viki2win ; p. 144 : © Danylchenko Iaroslav ; p. 145 : tennis © Nick Stubbs, hockey © Lorraine Swanson, formule 1 © brave rabbit, kitesurf © Inc ; p. 146 : Washington © Jorg Hackemann, plage © Pichugin Dmitry ; p. 147 : montagne et plage + barque © Pichugin Dmitry, Mont St Michel © bonzodog, désert © Galyna Andrushko  ; p. 153  : violoniste © Nikolay Mikhalchenko

valeur f ′( x ) de la dérivée de f en x. Cette fonction s'appelle la dérivée de f et se note f ′ . 2°/ Exemples. a) La fonction qui à x associe x est dérivable sauf en 0. b) La fonction sinus est dérivable et sa dérivée est la fonction cosinus. Des formules apprises en terminale permettent de calculer des dérivées de fonctions déduites d'autres fonctions dérivables : (u + v ) ′ = u ′ + v ′, (uv ) ′ = u ′v + uv ′ , ( ku) ′ = ku ′ si k est un nombre réel. ′ ′ u u ′v − v ′u 1 −u′ Lorsque cela a un sens

k=0..7), seq(evalm(R&ˆk&*S), k=0..7)]: On définit la procédure donnant l’indice d’un élément de G indice:=proc(M) local k; global L; for k from 1 to 16 do if equal(M, L[k]) then RETURN(k) fi od end: Enfin on calcule la signature par la formule ε(σ) = i⊂ H. Considérons ensuite x ∈ H. Il existe p ∈ Z tel que x = ap . Soit r le reste de la division euclidienne de p par n p = nq + r avec 0 Ainsi et on peut conclure K = G. On sait qu’alors r. Ainsi H =< b > est cyclique. Diffusion