Formule du binôme de Newton

p : • n! n =  p  p ! (n - p) ! si p £ n Relations sur les nombres  n = 1 0 n =  n   p   n-p  (a + b)n =  n = 1 n n = n  n =n 1  n-1   n  +  n  = n+1  p-1   p   p  p=n Formule du binôme de Newton, valable pour a et b réels ou complexes : n  n 0  n  n-1 1  n  n-p p n 0 n  n  n-p p  0 a b +  1 a b + ⋯ +  p a b + ⋯ +  n a b = p∑0 p a b = p=n Cas particulier pour a = b = 1  n  +  n  + ⋯ +  n  = ∑  n

II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital .

non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités 1re année Formules de Taylor 1re année Limites : comparaisons locales 1re année Développements limités 48 1re année 13 16 18 Approximation 1re année 52 Continuité 1re année Fonctions dérivables 1re année Intégration sur un intervalle quelconque

a det(N + A) = det(ANA−1 + A) = det(A(NA−1 + I)) = det A det(NA−1 + I) = det A. 5. On suppose A non inversible. En exprimant (A + N)k pour k ∈ N, démontrons que det(A + N) = 0. Comme les matrices A et N commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer les puissances de A + N. Soit m tel que N m = 0 et, pour tout k < m, N k = 0 on a alors m (A + N)m = m m k k k ∑ Cm Ak N m−k = ∑ Cm Ak N m−k = A ∑ Cm Ak−1 N m−k k=0 k=1 ainsi k=1 m k det((A +

plusieurs méthodes sont possibles et qu’il n’y a pas de recette magique qui fonctionne à tous les coups. On doit donc simplement s’en servir comme outils et aide-mémoire. 1-1 : Intégrale immédiate Il s’agit de l’application simple et immédiate des formules que l’on peut trouver dans n’importe quel formulaire.  Exemple 2 : cos x dx  sin x  C  Exemple 3 : e dx  e  C .  Exemple 1 : xmdx  xm1 C m1 x x Prépa HEC Problèmes intégration 1 F. Laroche http://laroche.lycee

non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités 1re année Formules de Taylor 1re année Limites : comparaisons locales 1re année Développements limités 48 1re année 13 16 18 Approximation 1re année 52 Continuité 1re année Fonctions dérivables 1re année Intégration sur un intervalle quelconque

démontrés précédemment. Quant aux formules qui le suivent, on les démontrerait ici comme on l’a fait dans C en début d’année. Théorème (Anneau Mn (K)) Mn (K), +, × est un anneau d’élément neutre In pour la multiplication. Pour n anneau n’est ni commutatif ni intègre. Théorème k∈N: 2, cet (Deux formules à connaître) Soient A, B ∈ Mn (K). On suppose que A et B commutent. Alors pour tout k (A + B)k = i=0 k Ai B k−i i (formule du binôme de Newton) k−1 et ° ° ° Attention

Décomposition de la lumière blanche. Arc-en-ciel. - Décomposition de la lumière émise par un filament incandescent à l’aide d’un prisme ou d’un réseau. - Recomposition de la lumière blanche avec une lentille convergente ou deux prismes. Disque de Newton. - Filtres colorés, synthèse soustractive. Spectre d’absorption. Rôle de la lumière incidente sur la couleur des objets. - Prolongements possibles: Synthèse additive des couleurs primaires; activité documentaire sur le pointillisme, principe de trichromie

avec p ∈ [[1; n]], on a : n+1 p = n n + . p p−1 Remarque (triangle de Pascal) III.3.23. — On a : p n 0 1 2 3 4 .. . .. . 0 1 1 1 1 1 .. . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 6 1 4 1 ··· .. ··· ··· n p n p+1 n+1 p+1 . .. . Théorème (formule du binôme de Newton) III.3.24. — Soient a, b ∈ R et n ∈ N. On a : n (a + b)n = k=0 n k n−k a b . k n k Définition III.3.25. — Les nombres s’appellent les coefficients binomiaux. Proposition III.3.26. — Soient n ∈ N et x ∈ R. On a : n k=0 III.4 n k n

bien-fondé des arguments (pertinence et précision des références culturelles, littéraires, historiques...) ;  le sens dialectique et aptitude critique (capacité d'évaluer le bien-fondé des opinions contenues dans le sujet, de les discuter, de formuler d'éventuelles réserves ou objections ; aptitude à élaborer un discours structuré dont les parties s'enchaînent de façon cohérente) ;  la qualité de la langue (correction orthographique, syntaxique et lexicale ; adéquation du discours à son objet