Formule du binôme de Newton

module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 - - L1/Math Sup On a, en factorisant par l’angle moitié et en utilisant les formules d’Euler, 1 + eiθ = 2 cos(θ/2)eiθ/2 . On en déduit que |1 + z| = 2 cos(θ/2) > 0 car θ/2 ∈]0, π/2[, puis qu’un argument de 1 + z est θ/2. Pour l’autre complexe, on commence par transformer son écriture en remarquant qu’il s’agit du début d’une somme

réciproques Arctangente Fonctions hyperboliques réciproques Calcul de limite par encadrement Études de fonctions et suites adjacentes 2. Nombres complexes 2.1 : Sommes de cosinus 2.2 : cos(2π/5) 2.3 : Racines septièmes 2.4 : Linéarisation, formule de Moivre 2.5 : Argument et Arctangente 2.6 : Systèmes non linéaires 2.7 : Méthode de Cardan 3. Équations différentielles 3 3 5 7 11 15 18 22 29 29 32 34 37 39 41 43 49 Équations différentielles linéaires du premier

• Définir le produit matriciel en rapport avec la composition des applications, étudier les propriétés de ce produit et les applications. Structure d’algèbre sur n ( ). • Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn ( ). • Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires. • Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit matriciel). Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan. Sommaire

de fonctions . . . . . . . . . . . . C.6 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . C.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . C.8 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . C.9 Équations différentielles . . . . . . . . . Formules de trigonométrie circulaire Formules de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

distribution. Pour r > 1, il s’exprime dans une unité différente des valeurs observées, ce ne sont pas donc des paramètres de dispersion au sens strict. Egalité remarquable On a: ?? = 1, ?1 = ?̅ ?2 = ? 2 ?0 = 1 ?1 = 0 En utilisant la formule du binôme de newton, on montre que : ?−2 ∀∈ ℕ, ?? = (∑(−1)? ??4 ??−? ?1? ) + (−1)?−1 (? − 1)?1? ?=0 En particulier ?2 = ?2 − ?12 (théorème de koenigs) Par KOUASSI D. S. ERIC Institut Universitaire d’Abidjan (IUA) INTRODUCTION A LA STATISTIQUE

. . . . . . . . . . . . 11 Corps usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6. Nombres Réels 6.1. 6.2. 6.3. 11 Inégalités, Bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Partie entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . 12 15. Groupe Linéaire et Groupe Orthogonal 28 7. Nombres Complexes 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. Nombres Complexes . . . . . . Inégalité triangulaire . . . . . . Groupe des unités . . . . . . . . Racines

101 12.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4 13 Lois 13.1 13.2 13.3 13.4 de probabilité Dénombrement Loi binômiale . Lois continues Exercices . . . et formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vérifiez que vous obtenez bien une solution de l’équation. 2.4. ppcm Définition 4 Le ppcm(a, b) (plus petit multiple commun) est le plus petit entier par b. 0 divisible par a et Par exemple ppcm(12, 9) = 36. Le pgcd et le ppcm sont liés par la formule suivante : Proposition 2 Si a, b sont des entiers (non tous les deux nuls) alors pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = |ab| Démonstration Posons d = pgcd(a, b) et m = |ab| pgcd(a,b) . Pour simplifier on suppose a > 0 et b > 0. On écrit a = da et b = db .

2 (xn ) = (xn ) 3) Calculer par récurrence p (xn ) ; 8p 2 N 4) A partir de la dé…nition de l’ opérateur B (Backward ou retard) : B(xn ) = xn 1 ;. redé…nir ; 2 en fonction de B. (l’ ensemble Id; B forme un anneau commutatif ) Utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer p Indication. En cas d’ oubli (a + b)n = an + n 1 an 1 b + ::: + n k an k k b + ::: + bn Exercice 1.4 En utilisant les propriétés des équations de récurrence, déterminer les fonctions absorbées et les

Antilles 2009 1. 30. Arbres, Centres étrangers 2008 1. 31. Arbre+binom, La Réunion 2008 1. 32. Arbre 3 niveaux, La Réunion 2005 1. 33. Contrôle de qualité, Liban 2005 1. 34. VA, Nouvelle–Calédonie 2002 1. 35. Boules+VA, STL, France, juin 2005 1. 36. Boules+VA, STL, France, juin 2006 1. 37. Urnes+Binom, Antilles 09/2008 1. 38. VA + Binom, N. Calédonie 11/2008 1. 39. Loterie+VA, France et La Réunion 2008 1. 40. Arbre+VA+Binom, Antilles juin 2008 1. 41. Tirages+VA, Polynésie, sept 2008 1.