Formule du binôme de Newton

λk πk et v = u − d. La décomposition de Dunford-Schwarz d'un endomorphisme u de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K permet le calcul de ses puissances successives. En eet comme d et v commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton pour écrire : ∀r ≥ 1, u = (d + v) = r r r ∑ k=0 k Cr dk ◦ v r−k . Le calcul des puissances successives de l'endomorphisme d peut se faire dans une base de diagonalisation ou en utilisant les propriétés des projecteurs pour écrire que

choisir 300 d’entre R´eponse : C3500 eux. On s’int´eresse aux diff´erentes promotions possibles, prises dans leur ensemble, sans tenir compte du classement de la promotion. • Rappelons d’abord la d´efinition des coefficients binomiaux et la formule du binome de Newton : Cnk = n k = n! 0 ≤ k ≤ n, k!(n − k)! n (a + b)n = Cnk ak bn−k . k=0 Cnk s’interpr`ete comme le nombre d’´echantillons de taille k dans une population de taille n. Par exemple, si dans une urne de n boules distinctes, on en tire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2 La méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3 La méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 1 L’intégrale de

suite (un )n∈ est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Etude du sens de variation d’une suite ∗ Etude du signe de un+1 − un . ∗ un = f (n), si f est monotone sur [0; +∞], alors la suite (un )n∈ est monotone, de même variation que f (formule explicite). un+1 et 1. ∗ Si (un )n∈ est strictement positive, on peut comparer un un+1 Si > 1, (un )n∈ est strictement croissante. un un+1 Si < 1, (un )n∈ est strictement décroissante. un Suites majorées, minorées, bornées... ∗ La suite (un )n∈ est

toujours l’air beaucoup trop simple lorsque c’est l’enseignant qui le fait... Alors, à vous de jouer ! VI Avant-propos D’un point-de-vue plus pragmatique, la validation se fait par le rendu en séance de deux compte-rendus de TP (réalisés en binômes), et d’un exercice rédigé en fin de TD (par groupe de 4). L’équipe enseignante de cette année est composée de David Benoît, Fabien Casenave et William Minvielle, tous trois en thèse au CERMICS, le laboratoire de mathématiques appliquées de l’Ecole

EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI DEL Nul Début d’entête Début de texte Fin de texte Fin de transmission Interrogation Acquittement Sonnerie ou alarme Espacement arrière Tabulation horizontale Interligne Tabulation verticale Présentation de formule Retour chariot Hors code En code Oblitération DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US Echappement transmission Commande d’appareil Commande d’appareil Commande d’appareil Commande d’appareil Accusé de réception négatif Synchronisation

priori de la science »12. L'historien des sciences Robert Nadeau explique pour sa part qu'il est « impossible de passer ici en revue l'ensemble des critères de démarcation proposés depuis cent ans par les épistémologues, [et qu'on] ne peut apparemment formuler un critère qui exclut tout ce qu'on veut exclure, et conserve tout ce qu'on veut conserver »13. La physicienne et philosophe des sciences Léna Soler, dans son manuel d'épistémologie, commence également par souligner « les limites de l'opération de

Cuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cours de mathématiques iv 4.5 TABLE DES MATIÈRES Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n→+∞ k=1 P (Bk ). Exercices sur la section 1. 1. Soit A,B,C trois évènements d’un espace de probabilité. Montrer à l’aide du Th. 1.2 ) que P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C). Etablir une formule de ce genre pour une réunion de 4 évènements. 2. Soit A une tribu d’évènements sur Ω, et soit f une fonction positive sur A ayant les propriétés suivantes: f (Ω) = 1, f (A ∪ B) = f (A) + f (B) si A et B sont des évènements disjoints et , si (Bn )

avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le calcul matriciel et on traite en détail des formules classiques concernant les changements de base. Au Chapitre 3 on rappelle les principales propriétés des déterminants, et on donne en annexe une introduction aux notations de la Physique (convention de sommation sur l’indice répété, etc. . .). Au