Formule du binôme de Newton

d’amplitude ). est : ) ) ( 0,590 0,591 0,592 0,593 0,594 0,595 0,596 0,597 0,598 0,599 0,600 ( ) -0,024621 -0,020575 -0,016525 -0,012472 -0,008415 -0,004355 -0,000291 0,0037762 0,0078472 0,0119218 0,016 Formule du binôme de Newton (hors programme) ⏟ ( ( [, ce qui revient à dire ( ) -0,375 -0,337349 -0,299392 -0,261123 -0,222536 -0,183625 -0,144384 -0,104807 -0,064888 -0,024621 0,016 De cette deuxième étude, on ] [ conclut que (encadrement

les autres théories mathématiques reposent sur le langage de la théorie des ensembles. Un axiome est une proposition logique à laquelle on attribue la valeur de vérité Vrai. Les valeurs de toutes les autres propositions logiques que l’on peut formuler doivent se déduire de ces axiomes. Un théorème est une proposition logique dont on a déduit des axiomes que sa valeur de vérité est vrai. Nous ne détaillerons pas l’axiomatique de la théorie des ensembles. Pour nous, un ensemble sera simplement

toutes les autres théories mathématiques reposent sur le langage de la théorie des ensembles. Un axiome est une proposition logique à laquelle on attribue la valeur de vérité Vrai. Les valeurs de toutes les autres propositions logiques que l’on peut formuler doivent se déduire de ces axiomes. Un théorème est une proposition logique dont on a déduit des axiomes que sa valeur de vérité est vrai. Nous ne détaillerons pas l’axiomatique de la théorie des ensembles. Pour nous, un ensemble sera simplement une

de Bernoulli est car par définition V(X) = V(X) = pq ∑x i=1 2 2 i pi - E(X)2 = [(0 x q) + (1 x p)] – p2 d’où V(X) = p – p2 = p (1 – p) = pq 2.3 Loi binomiale 2.3.1 Définition Décrite pour la première fois par Isaac Newton en 1676 et démontrée pour la première fois par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1713, la loi binomiale est l’une des distributions de probabilité les plus fréquemment rencontrées en statistique appliquée. Soit l’application avec Sn :

propriété précédente n'est plus valable.   p p p p p = = 1 mais aussi que si k = p alors on a = = 1 et que dans ces cas la k 0 k p   2) Déduisons en que si a et b sont deux entiers alors on a  a  b  p ≡a p  b p [ p ] La formule du binôme de Newton donne  a b  p = ∑ p a k b p−k = a p  ∑ p a k b p−k  b p k =0 k k =1 k p−1 p Or on vient de montrer que p divise pour 1  k  p − 1 on en déduit que ∑ p a k b p−k est divisible par p k k=1 k De fait  a  b  p ≡a p  b p [ p ] 

variable de Bernoulli est 2 car par définition V(X) = ∑x 2 i pi - E(X)2 = [(0 x q) + (1 x p)] – p2 i=1 d’où V(X) = p – p2 = p (1 – p) = pq 2.3 2.3.1 Loi binomiale Définition Décrite pour la première fois par Isaac Newton en 1676 et démontrée pour la première fois par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1713, la loi binomiale est l’une des distributions de probabilité les plus fréquemment rencontrées en statistique appliquée. n n Sn : Ω → R Soit

(−𝐼3) 𝑛−1 + ( 𝑛 2 )𝐵2 × (−𝐼3) 𝑛−2 +⋯+ ( 𝑛 𝑛 )𝐵𝑛 × (−𝐼3) 0 Alors 𝐴 = 𝐵 − 𝐼3. Pour calculer 𝐴𝑛 on va utiliser la formule du binôme de newton : pour 𝑛 ≥ 2 On a pour 𝑛 ≥ 2 : 𝐵𝑛 = (𝐴 + 𝐼3) n = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 𝐴𝑛 = ( 𝑛 0 )𝐵0 × (−𝐼3) 𝑛 + ( 𝑛 1 )𝐵1 × (−𝐼3)

formation mathématique vise le développement des compétences générales suivantes : – s’engager dans une recherche, mettre en œuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la transformer ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des analogies ; – modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer ; – représenter : choisir le cadre

3.3 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 10 4 Taylor avec reste primitive 11 4.1 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Notations Soit I, J, . . . des intervalles réels 1) [contenant plus d’un point]. 1) de l’un des neuf types : ]a, b[, ]a, b], [a, b[, [a, b], ] − ∞, b[, ]

EXERCICES SUR LA PUISSANCE ______ 34 1.3.0 Histoire de la dynamique ___________ 12 Corrigé des exercices sur l'énergie p. M 30 _ 34 1. L'antiquité ____________________________ 12 2) Aristote (384 - 322 av. J.-C.)______________ 12 3) Sir Isaac Newton (1642 - 1727) ___________ 12 Corrigé des exercices sur la puissance p. M 32 (avec g = 10 m/s2)_______________________ 34 1.3.1 Masse et masse volumique __________ 13 Exercices masse volumique ________________ 13 1.5 STATIQUE DE FLUIDES