Formule intégrale de Cauchy

cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Rappels d’analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique Fourier 1.4 Les fonctions définies par des intégrales 1.3 Les Séries de 9 Énoncés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Du mal à démarrer ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lionel Porcheron Le formulaire mpsi, mp 1 500 formules de mathématiques, physique et chimie 4e édition LE FORMULAIRE MPSI, MP LE FORMULAIRE MPSI, MP 1 500 formules de mathématiques, physique et chimie Lionel Porcheron Ingénieur de l’ENSEEIHT à Toulouse 4e édition © Dunod, Paris, 2000, 2003, 2004, 2008 ISBN 978-2-10-053787-7 Table des matières Avant-propos c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 1 : Mathématiques IX 1 1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques

\quad\ln(1 + x) &=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots\\ &=x\left(\frac11-x\left(\frac12-x\left(\frac13-x\left(\frac14-x\left(\frac15-\ldots\right)\right)\right)\right)\right). \end{align} La formule de Taylor avec reste intégral permet de montrer que ce développement est encore valide pour x=1. On obtient ainsi la somme de la série harmonique alternée. D'autre part, notons que Leonhard Euler a hardiment appliqué ce développement à x= -114. Sans se soucier

67 [ 01001 ] [correction] Rayon de convergence et expression fonctionnelle de la série entière x2n 4n2 − 1 c) Exprimer n=0 (−1)n x4n+1 4n+1 +∞ et n=0 (−1)n x4n+3 4n+3 pour x ∈ ]−R, R[. n 0 d) Exprimer S2 à l’aide d’une intégrale que l’on calculera avec Maple. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012 Exercice 72 Centrale MP a) Décomposer [ 02484 ] Enoncés a) Montrer que f peut être prolongée

à la résolution de lois de conservation1. En effet, pour des équations aux dérivées partielles qui contiennent des termes de divergence, en utilisant le théorème de flux-divergence ou de Green-Ostrogradski, les intégrales de volume d'un terme de divergence se transforment en des intégrales de surface. Il devient donc plus aisé d’évaluer les termes de flux aux interfaces entre les volumes finis. On utilise de ce fait une fonction de flux numérique pour élaborer une approximation des flux aux interfaces

......................................................... 31 Lois de conservation .................................................................................................................................. 31 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume ....................................................................................... 31 Théorème de la divergence......................................................................................................................

nous intéresse : l’aspect dynamique fera l’objet du chapitre 5. Il existe en mécanique des fluides deux modes principaux de description : les descriptions lagrangienne et eulérienne. Nous les étudierons successivement, en déterminant également les formules qui existent pour passer de l’une à l’autre. I I.1 Description lagrangienne Définition Dans cette description, l’observateur suit chaque particule fluide à partir de l’instant initial. Autrement dit, chaque particule ne sera repérée −− −→

∂ u + ∂ u = 0 dans K ∂x2 ∂y 2 (5)  u = 0 sur ∂K On rappelle la première formule de Green : 7 Unicité : Soient u1 Soit Ω un ouvert lipschitzien de Rn .Soient u et v éléments de H (Ω) et i un entier compris entre 1 et n. En notant ni la i-ème composante du vecteur normal au plan tangent(s'il existe) à un point de la surface ∂Ω, on a: ∂u ∂v v dx = uvni dσ − u dx (6) Ω ∂xi ∂Ω Ω ∂xi 1 Proposition 2.1 (Première formule de Green) K est clairement lipschitzien (c'est un polygone). De plus

1 Disques de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Théorème de Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par Moindres Carrés

. . . . . . . . . . LE PROBLEME DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRINCIPE GENERAL DES METHODES NUMERIQUES . . . PROPRIETES DES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . LES PRINCIPALES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . METHODES A UN PAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite . . . . . . . . . . . III.7.2 Méthode d'Euler amélioré . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.3 Méthode d'Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .