Formule intégrale de Cauchy

UE7 - MA5 : Analyse INTEGRALES GENERALISEES I. Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a , b] dites intégrables au sens de Riemann. On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a , b[ (resp. ]a , b]), b pouvant être +& (resp. a pouvant être -&), et qui ne sont pas nécessairement bornées. On considérera ensuite les fonctions

(x1 , x2 ). Depuis 1830, on a imaginé, pour résoudre ces questions, des méthodes d’une extraordinaire ingéniosité qui consistent à associer aux fonctions arithmétiques étudiées des fonctions analytiques auxquelles on peut appliquer la théorie de Cauchy ou l’analyse harmonique; mais, malgré les succès spectaculaires obtenus par ces méthodes, on ne peut dire que l’on en comprenne vraiment les raisons profondes. PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ Exemples La méthode

PCSI 1 2012/2013 Formules de mathématiques pour la PCSI Sabrina BERGEZ 2 Table des matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . .

du théorème des valeurs intermédiaires. avec des exemples et des applications. - Fonctions hyperboliques, trigonométriques réciproques et hyperboliques réciproques.  Intégration - Intégrales simples. Calcul de primitives. Formule de changement de variables. Applications. Calcul approché d’une intégrale simple. - Formule de Taylor ; Applications aux développements limités.  Equations différentielles - Equations différentielles du premier ordre, exemples et méthodes de résolution. - Equations différentielles

raison dans ] [, la série converge. 2. ( ) Il s’agit d’une série à termes positifs supérieurs à , qui est le terme général d’une série de Riemann divergente avec . La série diverge. 3. √ ( ) D’après la règle de Cauchy, , la série converge. Allez à : Exercice 3 Correction exercice 4. ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Cette dernière série diverge (Riemann avec donc la série de terme général diverge. Expliquons quand même un peu 7 ∑ Ainsi, il est plus

n ≥ N =⇒ un − ℓ < ε. k=0 1 Exemple 1.2.1 1) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la forme un = a.qn , a 0. Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante : Sn = u0 + u1 + · · · + un = a + a.q + a.q2 + · · · + a.qn = a(1 + q + q2 + · · · + qn )  1 − qn+1   a si q 1 = 1−q   a(n + 1) si q = 1. On remarque ainsi que lim Sn existe si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas la série

une équation différentielle de la forme N (E) : n=0 an y (n) = b où les an et b sont des fonctions à valeurs dans R et les y (n) sont les dérivées énièmes de la fonction inconnue y. Définition 1.2 On appelle solution générale de (E) une formule dépendant d’un certain nombre de constantes, et qui donne toutes les solutions de (E), lorsque ces constantes changent de valeurs. Définition 1.3 L’entier N (aN = 0) qui correspond au plus grand ordre de dérivation s’appelle l’ordre de l’équation différentielle

matières Partie 1 – Analyse dans R 1 2 3 4 5 6 7 8 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités 1re année Formules de Taylor 1re année Limites : comparaisons locales 1re année Développements limités 48 1re année 13 16 18 Approximation 1re année 52 Continuité 1re

Proposition Soit f ∈ L1(Rn) une fonction intégrable, alors la transformée de fourier de f est une fonction continue sur Rn, bornée, et nous avons en plus ||f̂ ||L∞ ≤ ||f ||L1 Preuve Continuité de f̂ : On utilise le théorème de continuité sous signe intégrale, nous avons |e−2πixξf (x)| ≤ |f (x)| x 7→ e−2πixξf (x) est majoré par f qui est dans L1(Rn). La fonction ξ 7→ e−2πixξf (x) est continue par rapport à ξ. Par suite ξ 7→ f̂ (ξ) = ∫ Rn e−2πixξf (x)dx est continue. 7/58Transformée de Fourier Transformée

répulsifs. . . . Encore à propos de la méthode de Newton. . Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . 4 Approximation polynômiale. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Méthode d'interpolation de Lagrange. Méthode des diérences divisées. . . . Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . Interpolation de Tchebychev. . . . . . Interpolation par intervalles. . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .