Formule intégrale de Cauchy

149 VI 152 Fonctions d’une variable 50 Fonctions continues 152 51 Fonctions monotones 155 52 Fonctions usuelles 157 53 Fonctions circulaires inverses 161 VII 163 Calcul différentiel 54 Dérivation 163 55 Fonctions convexes 169 56 Formules de Taylor 172 57 Calculs de développements limités 174 58 Calculs de limites par développements limités 176 59 Développements limités théoriques 179 60 Développements limités implicites 180 61 Équivalents 181 3 62 Équations différentielles

mal à démarrer ? Corrigés des exercices 165 165 168 170 172 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 233 233 236 239 241 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 179 179 181 183 184 18. Espaces vectoriels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 251 251 253 255

131 131 134 136 139 50 Fonctions continues 51 Fonctions monotones 52 Fonctions usuelles 53 Fonctions circulaires inverses VII Calcul différentiel 141 141 146 149 151 152 154 155 156 157 163 54 Dérivation 55 Fonctions convexes 56 Formules de Taylor 57 Calculs de développements limités 58 Calculs de limites par développements limités 59 Développements limités théoriques 60 Développements limités implicites 61 Équivalents 62 Équations différentielles linéaires (I) 63 Équations différentielles

Complexes. Polynômes 1. Nombres complexes La somme de deux nombres complexes conjugués Le produit de deux nombres complexes conjugués Pour linéariser et et est est 1. . , on utilise les formules d’Euler. Si on veut exprimer cosnθ ou sinnθ en fonction de cosθ et sinθ, on considère que et on utilise les formules de Moivre. Quelques résultats très utilisés : 1) . 2) - et sont conjugués. - et et et sont opposés. sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. sont opposés si et

(t) cos t cos x + sin t sin x dt =    2ℓ −ℓ ℓ n=1 −ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 1 2ℓ ℓ −ℓ nπ x dx ℓ −ℓ ℓ nπ f (x) sin x dx ℓ −ℓ f (x) cos ℓ 1 f (x)dx + ℓ ∞ ℓ f (t) cos −ℓ n=1 nπ (t − x) dt ℓ (1) Nous allons étudier cette dernière intégrale quand ℓ → ∞. π 2π nπ π Posons α1 = , α2 = , . . . , αn = et ∆αn = αn − αn−1 = . ℓ ℓ ℓ ℓ En reportant dans l’expression (1) ci-dessus, on obtient :  ∞  +ℓ ℓ  1 1    f (x) = f (t)dt +  f (t) cos αn (t − x)dt ∆αn   2ℓ −ℓ π  n=1 −ℓ +ℓ

formation mathématique vise le développement des compétences générales suivantes : – s’engager dans une recherche, mettre en œuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la transformer ou la simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des particularités ou des analogies ; – modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer ; – représenter : choisir le cadre

American Mathematical Society and is published by permission. Imprimé en France ISBN : 978-2-86883-0086-5 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées

Polynômes 1. Nombres complexes La somme de deux nombres complexes conjugués Le produit de deux nombres complexes conjugués Pour linéariser et est et . est 1. , on utilise les formules d’Euler. Si on veut exprimer cosnθ ou sinnθ en fonction de cosθ et sinθ, on considère que et on utilise les formules de Moivre. Quelques résultats très utilisés : . 1) 2) - et sont conjugués. - et sont opposés. - et sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. -

1[. De plus, on sait que ses dérivées s'obtiennent par (k) ∞ dérivation terme à terme de la série. On a donc GX (s) = n=k n(n − 1) . . . (n − k + (k) n−k 1)P (X = n)s et GX (0) = k!P(X = k). On peut donc reconstruire la loi de X à l'aide (k) de la formule suivante : P(X = k) = GX (0)/k!. 3. Si X est intégrable, par dénition la série nP (X = n) est convergente. La série nP (X = n)sn−1 est normalement convergente pour |s| ≤ 1 car sups |nP (X = n)sn−1 | = nP (X = n). Par conséquent, sa somme est la dérivée

logarithmiques 3. Exponentielle 4. Fonctions exponentielles 5. Fonctions puissances 6. Fonctions hyperboliques 7. Fonctions trigonométriques et leurs réciproques 8. Exercices 41 41 42 42 43 44 44 45 47 Chapitre 6. Intégral de Riemann 1. Intégral des fonctions en escalier 2. Intégral des fonctions continues par morceaux 2.1. Propriétés 2.2. Sommes de Riemann 3. Intégration et dérivation 4. Calcul des primitives 5. Exercices 51 51 52 52 53 54 55 57 CHAPITRE 1 Bases Dans ce chapitre nous allons