Formule intégrale de Cauchy

d’autre j=1 j k part, par définition le point ak est régulier pour f (z) − uk (z) donc il l’est pour g. on peut donc prolonger g en une fonction analytique dans Ω tout entier, comme Ω est simplement connexe, le théorème de Cauchy donne g(z) dz = 0, γ d’où la formule. 4.2.2.1 Calcul pratique du résidu d’une fonction : Soit f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0 )n le développement de Laurent de f au voisinage de z0 . L’intégrale de f le long d’un lacet ne dépend donc que d’un cœfficient dans

1 . Démonstration : Il suffit de voir que les projections canoniques de F sur F1 et F2 sont C 1 car linéaires et continues, et que l’injection canonique de F1 dans F ou de F2 dans F sont linéaires continues, donc elles aussi C 1 . Corollaire 10 (Formule de Leibnitz) Si f1 : U → F1 et f2 : U → F2 sont différentiables en x et B : F1 × F2 → G et B de F1 × F2 dans G est bilinéaire continue, alors B(f1 , f2 ) : x → B(f1 (x), f2 (x)) est différentiable en x et DB(f1 , f2 )(x)(h) = B(f1 (x), Df2 (x)(h))

appelle ces systèmes linéaires ? Parce qu’on peut les écrire sous la forme A(Y ) = B où A := Y ′ (t) − A(t)Y (t) est un opérateur lináire. 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) On va étudier l’ensemble des solutions de ce systèmes et le problème de Cauchy associé. Proposition 1.2.1 Soient Y1 , ..., Yk k solutions de Y ′ = AY . Soit t0 ∈ R. Elles sont linéairement indépendentes si et seulement si Y1 (t0 ), ..., Yk (t0 ) sont k vecteurs linéairement indépendents. 1. Soit A diagonalisable. Cela veut dire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . 2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Comparaison avec l’intégrale de Riemann . . . . . . . 2.5.2 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . 2.5.3 Application : la fonction Γ d’Euler . . . . . . . . . . . . Mesure de Lebesgue sur Rd 3.1 Mesures extérieures . . . . . . . . . . 3.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . 3.3 Classes monotones

Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Intégrale de Riemann Université Mohammed I Faculté des Sciences Département de Mathématiques Oujda. Mars 2012 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Plan 1 Intégrale des fonctions en escaliers Subdivision

la distance mesurée objet-lentille est de 20,2 cm. Les incertitudes absolues de lecture sur l’axe et de mise au point de l’image étant au total évaluées à 0,5 cm, exprimer la distance focale f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue ∆ f1' . 1.1.2. Formule de conjugaison de Descartes L’objet réel AB placé à 35 cm de la lentille ( L1 ) donne une image nette A′B′ de cet objet sur un écran (E) situé à 46,5 cm de la lentille. 1.1.2.1. Déterminer la distance focale f1' de cette lentille. 1.1.2.2. Sachant

Intégrale de Reimann des fonctions réelles Par Mohamed Bekkali, bekka@menara.ma " If you do not see why mathematics are beautiful, nobody else will tell you" Paul E. Science Unites Humans Uniformly Free Table des matières 1 Intégrale de Reimann IFHFI IFHFP IFHFQ IFHFR IFHFS wotiv—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F g—l™ul des surf—™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F sntégr—le dé(nie d9une fon™tion réelle F F F F F F F

mal à démarrer ? Corrigés des exercices 169 169 172 174 176 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 183 183 185 187 188 18. Espaces vectoriels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 271 271 273 275

alternée • Montrer que pour tout entier naturel non nul n n ln 2 = k=1 (−1)k−1 + (−1)n k +∞ 1 0 tn dt. 1+t • En déduire que k=1 (−1)k+1 = ln 2. k Solution. • Pour tout entier naturel non nul n et pour tout t ∈ [0, 1], la formule exprimant la somme des n − 1 premiers termes d’une suite géométrique donne n (−t)k−1 = (remarquer que −t = 1). k=1 1 − (−t)n 1+t 86 Généralités En intégrant, on obtient n k=1 (−1)k−1 = k n 0 1 1 (−1)k−1 tk−1 dt

continues par morceaux de R vers C. Pour tout x ∈ B, on note ||x||∞ = sup |x(t)|, et si t0 < t1 < . . . < tn sont les points de discontinuité de x sur le segment [a, b], on rappelle que : b n−1 tk+1 t∈R x(t)dt = a k=0 tk x(t)dt. Une telle intégrale possède toutes les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue, en particulier : (i) La propriété de linéarité. (ii) ab x(t)dt ≤ ab |x(t)|dt, si a ≤ b. (iii) b a x(t)dt ≤ (b − a)||x||∞ , si a ≤ b. Pour tout x ∈ B, on appelle moyenne