Formules Mguc

calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5 Développements asymptotiques . . . . . . 2 Entraînement 2.1 Vrai ou faux . . . 2.2 Exercices . . . . . 2.3 QCM .

condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. DEVELOPPEMENTS LIMITES PLAN I : Généralités 1) Définition 2) Formule de Taylor avec reste intégral 3) Inégalité de Taylor–Lagrange 4) Formule de Taylor–Young 5) Méthode de Newton-Raphson II : Opérations sur les développements limités 1) Somme 2) Produit 3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités

1 5 10 10 5 1 3.4. Formule du binôme de Newton . On retrouve les coefficients 1 2 1 On retrouve les coefficients 1 3 3 1 Pour développer une expression, il faut utiliser la commande Maxima « expand » b^2-2*a*b+a² -b^3+3*a*b^2-3*a^2*b+a³ b^4+4*a*b^3+6*a^2*b^2+4*a^3*b+a⁴ b^4-4*a*b^3+6*a^2*b^2-4*a^3*b+a^4 b^5+5*a*b^4+10*a^2*b^3+10*a^3*b^2+5*a^4*b+a^5 -b^5+5*a*b^4-10*a^2*b^3+10*a^3*b^2-5*a^4*b+a^5 -4*%i-4 3.5. Formules de Moivre Exercice type : exprimereten

Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour calculer l’intégrale ab f (x)dx. On choisit tout d’abord une subdivision a = a0 < a1 < · · · < ak = b du segment [a, b]. La formule de de Chasles donne k−1 b ai+1 f (x)dx. f (x)dx = a ai i=0 On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur un petit segment [ai , ai+1 ]. Ce calcul est effectué au moyen de formules approchées du type : li ai+1 f (x)dx ≈ ai ωi,j f (ξi,j ), ξi,j ∈ [ai

tenant compte de l'ordre mais sans répétitions. 9 9 Combinaisons : Une combinaison de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments. On choisit p éléments parmi n mais sans tenir compte de l'ordre et sans répétitions. C np = Formules : Anp n! = p! ( n − p )! p! n C n − p = C np et C np = C np−−11 + C np−1 (Triangle de Pascal ) ( a + b) n = ∑C p =0 n Dénombrements : quelles méthodes ? Typesde tirages Successifs Avec remise Successifs Avec remise Simultanés

C412 = 495. Noter l’équivalence au problème de comité : On choisit 4 positions (membres) sur 12. Généralisation: code binaire de longueur n contenant k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule du binôme de Newton ): (a + b ) Exemples (a + b)0 = 1 n k = ∑ Cn a n − k b k k =0 n (a + b)1 = C10 a + C11b = a + b (a + b)2 = C20 a 2 b 0 + C21a 1b1 + C20 a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = C30 a 3b 0 + C31a 2 b 1 + C32 a 1b 2 +

− ) u v (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? c) Déterminer le centre de gravité de cette figure. 3 EXERCICE 2 1) 1ère solution. D’après la formule du binôme de newton, on a 6 6 0 6 5 1 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 1 5 6 0 6 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i 0 1 2 3 4 5 6 (1 + i)6 = = 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i. 2ème solution. Mettons 1 + i sous forme trigonométrique et pour cela

b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b bb b bb bb b bb b bb b bb aujourd'hui il nous est arrivé quelque chose d'incroyable avec Léa Roissam, nous sommes sorties de cours de physique en ayant compris le cours de A à Z ou plutôt de formule développée à formule semi-développée !! et encore mieux 8.5/ 10 et 8/10 en anglais, j'ai encore du mal a y croire ! ^^ léa, on est des douées ! * Corinne Ryckébush-Trognon a une nouvelle passion : Les Barbapapas ! il lui manque actuellement Barbouille,

tel que A = aI + B . Calculer B 2 et B 3 . 2. Montrer que pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on a An = an I + nan−1 B + 3. Retrouver la valeur de An à l'aide de la formule du binôme de Newton.  6 4 0 Exercice 10 : Soit A =  −4 −2 0 . Soit B = A − 2I . 0 0 2 2 n 1. Calculer B . En déduire B pour tout n ∈ N, n ≥ 2.   2. En utilisant la formule du binôme de Newton, déterminer An en fonction de n ∈ N. 0 6 0  0 0 . 8       1 1 0 −2 4 5 1 2 1 1 1 2 Exercice 11 : Soient A =  −1 7 2 , P

A ) = ----------------------- . p(B) 92 cours savoir-faire exercices corrigés Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ). 3. Formule des probabilités totales { B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j , B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour