Formules Mguc

Soit P = ∑ ak X k un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que pour P( ) ∈N = k ∑ Ak ak X k− 10. * On se propose de redémontrer la formule de Taylor sans utiliser de récurrence. Soit P = ∑ ak X k un polynôme et a ∈ K. En écrivant P= ∑ ak [(X − a) + a]k en utilisant la formule du binôme et l’exercice 9, redémontrer la formule du binôme Exercices supplémentaires 11. Résoudre dans K[ X ] P = P P . On commencera par s’interresser au degré des éventuelles solutions . 12. Soit

premier set (0,2). L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale à . Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, additionne les deux précédents résultats. C'est la formule des probabilités totales. Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match. Dénombrement Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges. 1. On

PCSI 1 2012/2013 Formules de mathématiques pour la PCSI Sabrina BERGEZ 2 Table des matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . .

se calculent aussi de proche en proche grâce au triangle de Pascal (ci-dessous). p> n∨ 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 4 10 20 1 5 15 3 3 2 C4 = C3 + C3 1 6 1 III) Formule du binôme Définition : Pour tous réels a et b, et tout entier n non nul : 0 1 2 n n k ( a + b )n = C n a n b 0 + C n a n−1b1 + C n a n −2 b 2 + L + C n −1a1b n−1 + C n a 0b n = ∑ C n a n− k b k k =0 n IV) Méthodes et exemples Dénombrement

est de déterminer le nombre de possibilités de groupes d’élèves pris en photo. 1. Montrer que le nombre de possibilités de groupes d’élèves pris en photos est 28 0 + 33 1 +... + 33 33 3. En déduire la réponse à ce problème. 2. A l’aide de la formule du binôme de Newton développez (1 + 1)33 . Exercice 3 : On considère 7 boules numérotées de 1 à 7. 1. On en tire simutanément 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. a. Combien y a-t-il de tirages possibles dont le plus grand numéro est 5

P(x) un polynôme à coefficients entiers, et p un entier naturel au moins égal à 1. On pose : montrons que les coefficients de P(X) sont des entiers : en développant les par la formule du binôme et en posant le polynôme Q(X) est de degré égale à np c'est le produit de n polynômes de degré p, par la formule du binôme on peut exprimer le produit comme un polynôme donc de degré np et à coefficients entiers (une recurrence permet de le montrer en partant du produit de Cauchy de deux polynômes

Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice 10. Calculer en fonction de Exercice 5. et Démontrer que pour tous réels on a Indication : où voir page 11 Réponse : voir page 12 (on factorisera par et pour pour se ramener à la . deux nombres réels (ou complexes) et un entier Exercice 11. Exercice 6. Factoriser Calculer formule encadrée). Calculer de même Réponse : voir page 12 Formule du binôme de Newton : Réponse : voir page 12

. . . . . . . . 31 Calcul de n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 n p Propriétés des coefficients du binôme, formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 33 Quelques propriétés des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 37 Produit scalaire dans le plan et l’espace Rappels sur le produit scalaire

euclidienne de n par 4. Ainsi i^n=i^(4q+r)=〖(i^4)〗^q×i^r=i^r Exemple : i^2008=i^(4×502+0)=i^0=1 ; i^2011=i^(4×502+3)=i^3=-i Identités remarquables 1-z^n=(1-z)(1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n )⟺1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n=(1-z^n)/(1-z) ,z≠1 Formule du binôme de Newton et Triangle de pascal NB : les coefficients : peuvent être calculé par le triangle de pascal ci-dessous : Exercice d’application 3: Résoudre dans C l’équation :(3iz+2-i)((1+i)z-1+i)=0 Résoudre dans C X C : {█(2z_1-z_2=i@-2z_1+3iz_2=17)┤

fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans le cas où f est >0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent : • • • la courbe de f, l'axe des abscisses les deux droites d'équations